用实例讲解RSA加密算法(精)

       RSA是第一个比较完善的公开密钥算法,它既能用于加密,也能用于数字签名。RSA以它的三个发明者Ron Rivest, Adi Shamir, Leonard Adleman的名字首字母命名,这个算法经受住了多年深入的密码分析,虽然密码分析者既不能证明也不能否定RSA的安全性,但这恰恰说明该算法有一定的可信性,目前它已经成为最流行的公开密钥算法。

 

RSA公开密钥算法的发明人

用实例讲解RSA加密算法(精)

(从左到右Ron Rivest, Adi Shamir, Leonard Adleman. 照片摄于1978年)

       RSA的安全基于大数分解的难度。其公钥和私钥是一对大素数(100200位十进制数或更大)的函数。从一个公钥和密文恢复出明文的难度,等价于分解两个大素数之积(这是公认的数学难题)。

       RSA的公钥、私钥的组成,以及加密、解密的公式可见于下表:

 

       可能各位同事好久没有接触数学了,看了这些公式不免一头雾水。别急,在没有正式讲解RSA加密算法以前,让我们先复习一下数学上的几个基本概念,它们在后面的介绍中要用到:

一、什么是素数

       素数是这样的整数,它除了能表示为它自己和1的乘积以外,不能表示为任何其它两个整数的乘积。例如,1535,所以15不是素数;又如,126243,所以12也不是素数。另一方面,13除了等于131以外,不能表示为其它任何两个整数的乘积,所以13是一个素数。素数也称为质数

二、什么是互质数(或互素数)?

       小学数学教材对互质数是这样定义的:公约数只有1的两个数,叫做互质数。这里所说的两个数是指自然数。

       判别方法主要有以下几种(不限于此):

1两个质数一定是互质数。例如,271319

2)一个质数如果不能整除另一个合数,这两个数为互质数。例如,310526

31不是质数也不是合数,它和任何一个自然数在一起都是互质数。如19908

4)相邻的两个自然数是互质数。如1516

5)相邻的两个奇数是互质数。如4951

6)大数是质数的两个数是互质数。如9788

7)小数是质数,大数不是小数的倍数的两个数是互质数。如716

8)两个数都是合数(二数差又较大),小数所有的质因数,都不是大数的约数,这两个数是互质数。如357715357=3×7×17,而3717都不是715的约数,这两个数为互质数。等等。

三、什么是模指数运算?

       指数运算谁都懂,不必说了,先说说模运算。模运算是整数运算,有一个整数m,以n为模做模运算,即m mod n。怎样做呢?让m去被n整除,只取所得的余数作为结果,就叫做模运算。例如,10 mod 3=126 mod 6=228 mod 2 =0等等。模指数运算就是先做指数运算,取其结果再做模运算。如53 mod 7=125 mod 7=6

       好,现在开始正式讲解RSA加密算法。

算法描述:

1)选择一对不同的、足够大的素数pq

2)计算n=pq

3)计算f(n)=(p-1)(q-1),同时对pq严加保密,不让任何人知道。

4)找一个与f(n)互质的数e,且1<e<f(n)

5)计算d,使得de≡1 mod f(n)。这个公式也可以表达为d≡e-1 mod f(n)

这里要解释一下,是数论中表示同余的符号。公式中,符号的左边必须和符号右边同余,也就是两边模运算结果相同。显而易见,不管f(n)取什么值,符号右边1 mod f(n)的结果都等于1;符号的左边de的乘积做模运算后的结果也必须等于1。这就需要计算出d的值,让这个同余等式能够成立。

6)公钥KU=(e,n),私钥KR=(d,n)

7)加密时,先将明文变换成0n-1的一个整数M。若明文较长,可先分割成适当的组,然后再进行交换。设密文为C,则加密过程为:C≡Me (mod n)

8)解密过程为:M≡Cd (mod n)

实例描述:

       在这篇科普小文章里,不可能对RSA算法的正确性作严格的数学证明,但我们可以通过一个简单的例子来理解RSA的工作原理。为了便于计算。在以下实例中只选取小数值的素数p,q,以及e,假设用户A需要将明文“key”通过RSA加密后传递给用户B,过程如下:

1)设计公私密钥(e,n)(d,n)

p=3q=11,得出n=p×q=3×11=33f(n)=(p-1)(q-1)=2×10=20;取e=3,(320互质)则e×d≡1 mod f(n),即3×d≡1 mod 20d怎样取值呢?可以用试算的办法来寻找。试算结果见下表:

 

       通过试算我们找到,当d=7时,e×d≡1 mod f(n)同余等式成立。因此,可令d=7。从而我们可以设计出一对公私密钥,加密密钥(公钥)为:KU =(e,n)=(3,33),解密密钥(私钥)为:KR =(d,n)=(7,33)

2)英文数字化。

       将明文信息数字化,并将每块两个数字分组。假定明文英文字母编码表为按字母顺序排列数值,即:

 

       则得到分组后的key的明文信息为:110525

3)明文加密

       用户加密密钥(3,33)将数字化明文分组信息加密成密文。由C≡Me (mod n)得:

 

       因此,得到相应的密文信息为:112616

4)密文解密。

       用户B收到密文,若将其解密,只需要计算M≡Cd (mod n),即:

 

       用户B得到明文信息为:110525。根据上面的编码表将其转换为英文,我们又得到了恢复后的原文“key”

       你看,它的原理就可以这么简单地解释!当然,实际运用要比这复杂得多,由于RSA算法的公钥私钥的长度(模长度)要到1024位甚至2048位才能保证安全,因此,pqe的选取、公钥私钥的生成,加密解密模指数运算都有一定的计算程序,需要仰仗计算机高速完成。

最后简单谈谈RSA的安全性。

首先,我们来探讨为什么RSA密码难于破解?在RSA密码应用中,公钥KU是被公开的,即en的数值可以被第三方窃听者得到。破解RSA密码的问题就是从已知的en的数值(n等于pq),想法求出d的数值,这样就可以得到私钥来破解密文。从上文中的公式:d ≡e-1 (mod((p-1)(q-1)))de≡1 (mod((p-1)(q-1))) 我们可以看出。密码破解的实质问题是:从pq的数值,去求出(p-1)(q-1)。换句话说,只要求出pq的值,我们就能求出d的值而得到私钥。

       pq是一个大素数的时候,从它们的积pq去分解因子pq,这是一个公认的数学难题。比如当pq大到1024位时,迄今为止还没有人能够利用任何计算工具去完成分解因子的任务。因此,RSA从提出到现在已近二十年,经历了各种攻击的考验,逐渐为人们接受,普遍认为是目前最优秀的公钥方案之一。

       然而,虽然RSA的安全性依赖于大数的因子分解,但并没有从理论上证明破译RSA的难度与大数分解难度等价。即RSA的重大缺陷是无法从理论上把握它的保密性能如何。

       此外,RSA的缺点还有:A)产生密钥很麻烦,受到素数产生技术的限制,因而难以做到一次一密。B)分组长度太大,为保证安全性,n 至少也要 600 bits 以上,使运算代价很高,尤其是速度较慢,较对称密码算法慢几个数量级;且随着大数分解技术的发展,这个长度还在增加,不利于数据格式的标准化。因此,使用RSA只能加密少量数据,大量的数据加密还要靠对称密码算法。

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