Zoj 3868 GCD Expectation

给一个集合，大小为n ， 求所有子集的gcd 的期望和 。 

期望的定义为 这个子集的最大公约数的K次方 ； 

每个元素被选中的概率是等可能的

即概率 p = (发生的事件数)/(总的事件数);

总的事件数 = 2^n -1; 大小为n的集合的非空子集个数为2^n -1

期望 = p(i) *i;  

       = 1*p(1) + 2*p(2) + ... +n*p(n);

设x发生的事件数为 dp[x] ， 则上式可化简为：

       =1*dp[1]/(2^n-1) + 2*dp[2]/(2^n-1) + ... +n*dp[n]/(2^n-1);

       =1/(2^n-1)*(1*dp[1] + 2*dp[2] + ... + n*dp[n]);

题目要求最后所得结果乘以 (2^n-1);

所以式子最后化简为：1*dp[1] + 2*dp[2] + ... + n*dp[n]

即问题转化为求gcd = i 的子集数

假设gcd = m*i (m = 0,1,2,3,... && m*i <= max_num)的个数为dp[i]个

那么gcd = i 的个数则为 for(int j= i + i ; j <= max_num ; j += i) dp[i]-=dp[j] ;

则期望为：dp[1] * 1^k + dp[2] * 2^k + ... dp[i] * i^k ;

 1 #include <cstdio>

 2 #include <cstring>

 3 #include <cstdlib>

 4 #include <cmath>

 5 #include <iostream>

 6 #include <map>

 7 #include <list>

 8 #include <queue>

 9 #include <stack>

10 #include <string>

11 #include <algorithm>

12 #include <iterator>

13 using namespace std;

14 #define MAXN 1000010

15 #define INF 0x3f3f3f3f

16 #define MOD 998244353

17 #define eps 1e-6

18 #define LL long long 

19 int num[MAXN];

20 LL dp[MAXN];

21 //dp[i] = 2^x -1 ; gcd = n*i;

22 //for(int j = i ; j <= max_num ; j += i) dp[i] -= dp[j];

23 LL qpow(LL x , LL k)

24 {

25     LL res=1;

26     while(k)

27     {

28         if(k & 1) res = res * x % MOD;

29         x = x * x % MOD;

30         k >>= 1;

31     }

32     return res;

33 }

34 

35 int main()

36 {

37     int T;

38     int n,k;

39     LL ans;

40     scanf("%d",&T);

41     while(T--)

42     {

43         scanf("%d %d",&n,&k);

44         int x;

45         int max_num = 0;

46         int cunt = 0;

47         memset(num , 0 , sizeof(num));

48         memset(dp , 0 , sizeof(dp));

49         for(int i = 0 ; i < n ; i ++)

50         {

51             scanf("%d",&x);

52             num[x] ++;

53             max_num = max(x , max_num);

54         }

55 

56         ans = 0;

57         for(int i = max_num ; i >= 1 ; i --)

58         {

59             cunt = 0;

60             dp[i] = 0;

61             for(int j = i ; j <= max_num ; j += i)

62             {

63                 cunt += num[j];

64                 if(j > i) dp[i] = (dp[i] - dp[j] + MOD) % MOD;

65             }

66             dp[i] = (dp[i] + qpow(2 , cunt) - 1 + MOD) % MOD;

67             ans = (ans + (dp[i] * qpow(i , k)) % MOD ) % MOD;

68         }

69         printf("%d\n",(int)ans);

70     }

71     return 0;

72 }

View Code