《大话数据结构》第6章.树

树是图的一种特殊形式，二叉树是树的一种特殊形式（线性表也能看作为是二叉树的一种特殊形式，为斜树），二叉查找树是二叉树的一种特殊形式，平衡二叉树是二叉查找树的一种特殊形式

树

关键词：有序树、无序树、森林、度（degree）、高度（depth）、层次（level）

             树、二树、二叉树、二叉查找树（二叉排序树）、AVL树（ 平衡二叉树的一种 ）

             静态查找表、动态查找表、

             前序遍历（preorder）、中序遍历 （inorder） 、后续遍历（postorder）

what树：树是n(n≥0)个结点的有限集。n=0时称为空树。在任意一颗非空树中：

1）有且仅有一个特定的称为 根（Root）的结点

2）当 n>1时，其余结点可分为m（m>0）个互不相交的有限集T1、T2、...、Tm，其中每一个集合本身又是一棵树，并且称为根的 子树（SubTree）

树的特点：

1. n>0时根节点是唯一的，不可能存在多个根节点

2. 子树的个数没有限制，但它们只有一个Parent

二叉树（Binary Tree）

what二叉树：二叉树是(n≥0)个结点的有限集。n=0时称为空二叉树。在任意一颗非空二叉树中，由一个根结点和两颗互不相交的，分别称为根结点的左子树和右子树的二叉树组成。

线性结构与树结构的区别：线性一对一，树结构一对多

二叉树的特点：

1. 每个结点最多有两颗子树。（也就是说，不存在度大于2的结点）

2. 左子树和右子树是有顺序的，次序不能任意颠倒

3. 即使树中某节点只有一颗子树，也要区分它是左子树还是右子树。

what二叉树遍历：指 从根结点出发（注意：并不一定先访问根结点），按照某种 次序依次 访问访问二叉树中的所有节点，使得每个结点被访问一次且 仅被访问一次。

这里的访问不一定就是指输出，也有可能是进行相关计算等。

二叉树遍历方法：

1. 前序遍历
2. 中序遍历
3. 后序遍历
4. 层序遍历

【递归时，根据不同的情况采用不同的遍历方式。比如归并排序合并，二叉查找析构时都是采用后序遍历递归。先序递归创建树等】

二叉树的5个性质：

性质1：二叉树的第i层 至多有2^(k-1)个结点(k≥1)

性质2：深度为k的二叉树 至多有2^k-1个结点(k≥1)

性质3：对任何一颗二叉树T,如果其终端结点数为n0,度为2的结点数为n2,则n0=n2+1

性质4 ： 注意：仅适用于完全二叉树  具有n个结点的 完全二叉树 的高度为小等于logn的最大整数+1（ 适用于完全二叉树、比较树 ）

性质5：注意：仅适用于完全二叉树

二叉查找树

what二叉查找树：二叉查找树，又称为二叉排序树。它或者是一颗空树，或者是具有下列性质的二叉树。

1）首先二叉查找树是二叉树，所以它必须满足二叉树的性质

2）若它的左子树不空，则左子树上所有节点的值均小于它的根结点的值（换句话说，某结点i一定比其左子树所有结点都大）

3）若 它的右子树不空，则 右 子树上所有节点的值均大于它的根 结点 的值 （换句话说，某结点i一定比其右子树所有结点都小）

4）它的左、右子树也分别为二叉查找树

注意：二叉查找树定义和堆定义的异同

当对二叉查找树进行中序遍历时，就可以一个有序的序列。

todo:二叉树中不允许出现相同键（因为如何这样查找相同元素的结点，结果是不确定的。也就是限制insert操作）

why二叉查找树：主要是为了提高查找、插入、删除关键字的速度，此外还可以排序。

核心思想：以链式方式存储，避免了执行插入或删除操作时移动元素。只要找到合适的插入和删除位置后，仅需修改链接指针即可。

插入、和删除操作皆依赖于查找定位，因为要使二叉查找树是已排序的，以便以后查找。

时间复杂度 ：O(h(二叉查找树高度))，查找、插入、删除皆是。h(二叉查找树高度)依赖于输入的元素，以及输入次序。理想情况下，为logn下界+1

二叉查找 树的查找，走的就是从根结点到要查找的结点的路径，其比较次数等于给定值的结点在二叉排序树的层数。极端情况下，最少为1次，即根结点就是要找的结点，最多也不会超过树的深度。可是，二叉查找树的查找插入删除性能依赖于树的形状，但树的形状是不确定的。

特殊二叉树：斜树、满二叉树、完全二叉树

完全二叉树

what完全二叉树：对一颗具有n个结点的二叉树按层序编号，如果编号为i(1≤i≤n)的结点与同样深度的满二叉树编号为i的结点在二叉树中位置完全相同，则这颗二叉树称为完全二叉树。（也就是说，除了最底层的叶结点外是填满的，而最底层的叶节点从左至右又不得有空隙。）

满二叉树一定是一颗完全二叉树，但完全二叉树不一定是满的。

同样结点的二叉树，完全二叉树的深度最小。

平衡二叉树（Self-Balancing Binary Search Tree或Height-Balanced Binary Search Tree）

平衡二叉树有许多种类型，包括AVL-tree、RB-tree、AA-tree，其中最被广泛运用于STL的是RB-tree（红黑树） p<>p199

what平衡二叉树：

1）是一颗二叉排序树

2）其中每一个结点的左子树和右子树的高度差至多等于1（平衡因子只能是-1,0,1）

what平衡因子（BF,Balance Factor）：二叉树上结点的左子树深度减去右子树深度的值称为平衡因子。所以平衡二叉树上所有结点的平衡因子只可能是-1、0和1

what最小不平衡子树：距离插入结点最近的，且平衡因子的绝对值大于1（即等于2）的结点为根的子树，我们成为最小不平衡子树

时间复杂度：O(lgn)查找、插入、删除皆是。（无论最好，平均，还是最坏情况下）