数学建模之规划2——非线性规划（01规划、整数规划、动态规划）

术语解释

• 整数规划：规划中的变量（全部或部分）限制为整数，称为整数规划。（很多的单位是不能拆分成小数的）
• 0-1规划：决策变量仅取值0或1的异类特殊的整数规划。（决策变量要么取0，要么取1）（可以解决快递员问题、协作效率最优化问题、解决流程化问题效果很多好）
• 非线性规划：目标函数或约束条件中至少有一个是非线性函数的最优化问题。
• 多目标规划：研究多于一个目标函数在给定区域上的最优化。
• 动态规划：是运筹学的一个分支，是求解决策过程最优化的数学方法。

整数规划及0-1规划模型

概述

• 首先0-1其实也是整数规划。
• 整数规划指的是决策变量为非负整数值的一类线性规划。
• 在实际问题的应用中，整数规划模型对应着大量的生产计划或活动安排等决策问题，整数规划的解法主要有分枝定界解法及割平面解法。
• 在整数规划问题中，0-1型整数规划则是其中较为特殊的一类情况，它要求决策变量的取值仅为0或1，在实际问题的讨论中，0-1型整数规划模型也对应着大量的最优决策的活动与安排讨论，我们将列举一些模型范例，以说明这个事实。

例题1：原油采购与加工

目标：你现在要使收益最大，如何安排原油的采购和加工。

• 市场上可买到不超过1500t的原油A：
• 购买量不超过500t时的单价为10000元/t；
• 购买量超过500t但不超过1000t时，超过500t的部分8000元/t；
• 购买量超过1000t时，超过1000t的部分6000元/t.

问题分析：

• 利润：销售汽油的收入-购买原油A的支出。
• 难点：原油A的购价与购买量关系复杂。
• 决策变量：支出 = 原油A的购买量
  
• $Max=4.8(x_{11}+x_{21})+5.6(x_{12}+x_{22})-c(x)$
• c(x)~购买原油A的支出
• $$c(x)=\{\begin{array}{ll}10x& (0\le x\le 500)\\ 8x+1000& (500\le x\le 1000)\\ 6x+3000& (1000\le x\le 1500)\end{array}$$
• 原油供应
• $x_{11}+x_{12}\le 500+x$ 库存500t
• $x_{21}+x_{22}\le 1000$ 库存1000t
• $x\le 1500$不能卖超过1500
• $\frac{x_{11}}{x_{11}+x_{21}}\ge 0.5$，A要大于50%。
• $\frac{x_{12}}{x_{12}+x_{22}}\ge 0.6$，B要大于60%。
• 目标函数c(x)不是线性函数，是非线性规划。
• 对于用分段函数定义的c(x)，一般的非线性规划软件也难以输入和求解。

模型求解

• $x_1,x_2,x_3$以价格10，8，6（千元/t）采购A的吨数。这对于任何一种情况都成立。
• 于是有$x=x_1+x_2+x_3,c(x)=10x_1+8x_2+6x_3$
• $Max=4.8(x_{11}+x_{21})+5.6(x_{12}+x_{22})-10x_1+8x_2+6x_3$
• 然而只有当$x_1=500$的时候，$x_2$才能有值，同理当$x_1+x_2\ge 1000x_2=500$时，$x_3$才能有值
• 所以约束等价于$(x_1-500)\ast x_2=0$【这个太牛逼了】
• 同理$(x_2-500)x_3=0$
• $0\le x_1,x_2,x_3\le 500$

求解代码

Model:
Max= 4.8*x11 + 4.8*x21 + 5.6*x12 + 5.6*x22 - 10*x1 - 8*x2 - 6*x3;
x11+x12 < x + 500;
x21+x22 < 1000;
x11 - x21 > 0;  
2*x12 - 3*x22 > 0;
x=x1+x2+x3;     
(x1 - 500) * x2=0; 
(x2 - 500) * x3=0; 
x1 < 500;
x2 < 500;
x3 < 500;
end 

最终结果

 Local optimal solution found.
  Objective value:                            4800.000
  Total solver iterations:                          14
     Variable           Value        Reduced Cost
            X11        500.0000            0.000000
            X21        500.0000            0.000000
            X12        0.000000           0.2666667
            X22        0.000000            0.000000
              X1        0.000000           0.4000000
              X2        0.000000            0.000000
              X3        0.000000            0.000000
                X        0.000000            0.000000

这里分段函数的处理非常经典，需要反复仔细看。

分派问题（0-1规划）

• 若干项任务分给一些候选人来完成，每人的专长不同,完成每项任务取得的效益或需要的资源不同，如何分派任务使获得的总效益最大，或付出的总资源最少?
• 若干种策略供选择，不同的策略得到的收益或付出的成本不同，各个策略之间有相互制约关系，如何在满足一定条件下作出抉择，使得收益最大或成本最小?
• 指派(Assignment)问题：有若干项任务, 每项任务必有且只能有一人承担，每人只能承担一项，不同人员承担不同任务的效益(或成本)不同，怎样分派各项任务使总效益最大(或总成本最小)?一般情况分为三种
  • 人员数量与任务数量相等
  • 人员数量大于任务数量(本例)
  • 人员数量小于任务数量 ?

0-1规划数学模型

$$Max(Min)z=c_1{x}_1+x_2{x}_2+.....+c_n{x}_n$$
$$\{\begin{array}{l}{a}_{11}{x}_1+a_{12}{x}_2+...a_{1n}{x}_n\le (\ge ,=)b_1\\ a_{21}{x}_1+a_{22}{x}_2+...a_{2n}{x}_n\le (\ge ,=)b_2\\ ..............\\ a_{m1}{x}_1+a_{m2}{x}_2+...a_{mn}{x}_n\le (\ge ,=)b_2\\ x_1,x_2,......,x_n=0|1\end{array}$$

案例：混合泳接力队的选拔

• 问题：如何选拔队员组成4*100混合泳接力队？
• 讨论:丁的蛙泳成绩退步到1‘15’‘2；戊的自由泳成绩进步到57’‘5 , 组成接力队的方案是否应该调整？
  
• 若选择队员i参加泳姿j的比赛，记$x_{ij}=1$，否则记$x_{ij}=0$。
• 这里面的约束相当复杂，队员只能游一种泳姿，并且每种泳姿也只能由一名队员游。
• 目标函数：$$minZ=\sum _{j=1}^4\sum _{i=1}^5{c}_{ij}{x}_{ij}$$
• 约束条件：$$\sum _{j=1}^4{x}_{ij}\le 1,i=1,...,5（1）$$
  $$\sum _{i=1}^5{x}_{ij}=1,j=1,...,4（2）$$
• 一式：每人最多入选泳姿。
• 二式：每种泳姿有且只有一个人。

模型求解代码Lingo

MODEL:
sets:
  person/1..5/;
  position/1..4/;
  link(person,position): c, x;
endsets
data:
  c=  66.8, 75.6, 87, 58.6,
    57.2,  66, 66.4, 53,
     78, 67.8, 84.6, 59.4,
     70, 74.2, 69.6, 57.2,
     67.4, 71, 83.8, 62.4;
enddata
min=@sum(link: c*x);
@for(person(i):  
   @sum(position(j):x(i,j))<=1;);
@for(position(i):
   @sum(person(j):x(j,i))=1;);
@for(link: @bin(x));
END 

案例2 选课策略（0-1多目标复杂规划）

• 要求至少选两门数学课、三门运筹学课和两门计算机课
• 为了选修课程门数最少，应学习哪些课程？
• 选修课程最少，且学分尽量多，应学习哪些课程？

决策变量

• $x_i=1$~选课好i的课程，0为不选，1为选择。

目标函数

• 选修课程总数最少:$$minZ=\sum _{i=1}^9{x}_i$$

约束条件1：至少选两门数学课、三门运筹学课和两门计算机课

• 最少2门数学课： $x_1+x_2+x_3+x_4+x_5\ge 2$

• 3门运筹学课：$x_3+x_5+x_6+x_8+x_9\ge 3$

• 2门计算机课：$x_4+x_6+x_7+x_9\ge 2$

• 要有最优化方法、那么必须要学微积分和线性代数，$$x_3\le x_1,x_3\le x_2⟺2x_3-x_1-x_2\le 0$$

• 要选数据结构，必须选计算机编程，$$x_4\le x_7⟺x_4-x_7\le 0$$

• 要选应用统计，必须学微积分和线性代数，$$x_5\le x_1,x_5\le x_2⟺2x_5-x_1-x_2\le 0$$

• 要选预测理论，必选引用统计，$x_7-x_8\le 0$

• 要选数学实验，必选微积分、线性代数$$x_9\le x_1,x_9\le x_2⟺2x_9-x_1-x_2\le 0$$

• 基本的方法论就是把约束条件转化为不等式

约束条件2：课程最少、学分尽量多

$$minZ=\sum _{i=1}^9{x}_i$$$$maxW=5x_1+4x_2+4x_3+3x_4+4x_5+3x_6+2x_7+2x_8+3x_9$$

• 目标加权组合
  • ※※双目标规划方法可转化为$min\{Z,-W\}$，这样可以转化成单目标优化
• 把一个目标作为约束，解另一个目标的规划
  • 先以课程最少为目标，不管学分多少，最优解已经可以通过上面的不等式算出，6门课程，总学分21。
  • 以学分最多，不管课程最多$\to$肯定是选完所有的课程。
  • 先求出一个作为约束条件，课程最小一定是6，我们把它作为约束条件，再来看怎么选学分最高。

总结

• 用0-1变量表示策略选择是常用的方法
  • “要选甲 (x1)必选乙 (x2)” 可用$x1\le x2$描述.
  • “要选甲 (x1)必不选乙 (x2)” 怎样描述?
  • “甲乙二人至多选一人” 怎样描述?
  • “甲乙二人至少选一人” 怎样描述?
• 双(多)目标规划的处理方法
  • 加权组合成一个新目标, 化为单目标规划.
  • 一个目标作为约束, 解另一个目标的规划.