数学建模入门(一)

##层次分析法
主要解决综合评价和决策的问题,采用主观赋权的方法确定权重,一般为综合咨询评分。

第一步 建立层次结构图

确定决策目标、决策准则、可执行方案数学建模入门(一)_第1张图片

第二步 构造判断矩阵
根据重要程度表对方案进行两两比较数学建模入门(一)_第2张图片
首先确定各指标的重要性,两两比较填入表中
数学建模入门(一)_第3张图片
然后针对各指标,对各方案根据重要程度进行打分
数学建模入门(一)_第4张图片
对于打分得到的表格。表格中的数据构成了判断矩阵
类似于这样数学建模入门(一)_第5张图片
对于得到的判断矩阵,称之为A,元素为 a[i,j]
表示与 j 相比 i 的重要程度
且有 a[i,j] * a[j,i] = 1

得到判断矩阵后,应当进行一致性检验,即判断我们得到的矩阵与一致矩阵的差别大不大(有些可能不合逻辑)
一致性矩阵: 对于A中元素,满足 A[i,j] * a[j,k] = a[i,k] 且行或列之间呈线性关系

数学建模入门(一)_第6张图片
其中 λ 表示A的最大特征值, n 表示矩阵的阶
如果不符合一致性矩阵,则需要对矩阵进行修正

第三步,判断矩阵求权重
进行归一化处理
(1)算术平均法求权重
每一个元素处于所在列之和
然后按行求和
最后除以矩阵阶数n
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(2)几何平均法求权重
按行相乘
开n次方
相加除以n
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(3)特征值法求权重

求A的最大特征值及特征向量
对特征向量归一化处理

第四步,计算权重和,确定最优方案

将求得权重填入权重表
数学建模入门(一)_第9张图片
计算得分,获得最佳方案

局限性:
决策层不能太多
评分数据是主观给出,对于已有数据的问题一般不采用

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