有限元分析时是网格画的越细越精确吗？

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作者：猪小宝
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在单元选用合理、计算假设合理、网格划分合理的前提下，单元数量越多，结果越接近理论解。

很多时候，提高单元数量对于计算精度的提高，远远比不过选用更好更合理的单元类型。对于不同的求算对象，所需要的单元数量也不相同。一般来说，求算应力需要比求算位移更多的单元，而求算剪应力需要比正应力更多的单元。

举一个作业里的小例子，平面应力问题，计算一根悬臂梁的变形和应力。

悬臂梁的宽度为1，弹性模量30000，泊松比0.3，自由端承受竖向荷载100。求解A点的竖向位移、B点的正应力、C点的剪应力。

分别选用不同类型的四种单元计算，包括三节点三角形 CSTG、六节点三角形 LST、四节点四边形 IPLQ、八节点四边形 IPQQ。

首先计算位移和应力的理论解：

A 点的竖向位移为0.895，B 点的正应力为90，C 点的剪应力为7.5。

然后分别用不同数量的四种单元进行比较计算，所用软件为 GT STRUDL，单元名称按照 GT STRUDL 的命名，计算结果是这样的：
<img src="https://pic1.zhimg.com/50/851035f60f9aec7ea7bb69cdd4769bd4_hd.jpg" data-rawwidth="813" data-rawheight="476" class="origin_image zh-lightbox-thumb" width="813" data-original="https://pic1.zhimg.com/851035f60f9aec7ea7bb69cdd4769bd4_r.jpg">随着单元数量的增多，位移、正应力和剪应力结果都趋近于理论解。

随着单元数量的增多，位移、正应力和剪应力结果都趋近于理论解。

对于不同的单元类型，趋近理论解的速度完全不同。同样是32个单元，CSTG 的位移结果是0.5072，正应力是33.11，与真实解 0.895 和 90 相差甚远。而32个单元的 LST 结果为0.8978和88.68，已经很接近于理论解 0.895 和 90。

同样是64个单元，IPLQ 的结果为 0.8715 、89.52，而 IPQQ 的结果则达到了 0.8999、90.01，可以说正应力结果已经非常非常接近理论解。

如果比较一下四边形单元的结果和三角形单元的结果，差异更加明显。对于位移结果来说，2000个CSTG单元的精度也比不上4个IPQQ单元的精度。

如果横坐标为单元数量，纵坐标为计算结果，绘制一张收敛图像的话，对于位移来说是这样的：
<img src="https://pic2.zhimg.com/50/ad4a8ea0ff5d46ae051e49b965a3fd1d_hd.jpg" data-rawwidth="354" data-rawheight="248" class="content_image" width="354">
对于这四种单元类型，要想达到类似的可以接受的精度水平，需要的单元数量完全不同。

根据上面的分析，想要得到精度可以接受的计算结果，CSTG 需要2000多个单元，而 IPQQ 仅需要64个。

所以结论就是，提高单元数量的确会提高计算精度，但前提是单元类型合理高效。对于提高精度来说，更合理的方法是选用更好的单元，而不是盲目的提高单元数量。

Update:
Abaqus 的官方帮助文档里同样举了类似的例子，比较了同样的悬臂梁不同单元、不同网格下的梁端位移的计算结果，结论也是类似的。

Abaqus 的结果如下：

不同单元在四种网格尺寸（1x6、2x12、4x12、8x24）下的计算结果与理论解的比值
CPS4：0.074，0.242，0.242，0.561
CPS8：0.994，1.000，1.000，1.000
CPS4R：20，1.308，1.051，1.012
CPS8R：1.000，1.000，1.000，1.000