PKU 2104 Kth-Number

最早见到这题是在07年JSOI冬令营上，当时知道了个大概，最近才弄明白，惭愧。。。

题意很简单，询问长度为100000的数组中给定区间上的第K大值

 

1. 考虑子问题，对于给定的数x，如何求出在给定区间上比x小的数有多少个（即x的排名）

2. 如果问题1得到解决，那么我们可以通过对排序过的原数组进行二分答案，直到找到一个数y，使得它在给定区间上的排名为K

 

 

本题使用线段树的思想（更严格的说，应该是归并树），树中每个节点（线段）保存该区间内原数值的有序序列。

例如原区间上的数为 2， 5， 3 那么，最终该区间上保存的数值是2，3，5. 其实并不需要存下这么多数，只需要保留一个索引（在有序数组中两端的位置）即可。这一步其实就是一个归并排序的过程。

 

对于给定一个数，我们查询其在给定区间上的排名。如果该区间正好覆盖了线段树的一个节点，那么直接进行二分查找即可。

如果不覆盖，只需要分别递归进入子区间，最终的排名即是两个子区间排名之和。

 

以上即是本题的基本算法。在我看来，这个题目的繁琐之处在于二分查找的部分。

第一个二分查找：

这是在二分答案的时候。举例： 如果给定区间上的数是2， 5， 10， 要求第三大

如果我们二分的答案是6，7，8，9，10，算出的排名都会是3. 这个时候我们要选最大的一个。

 

第二个二分查找：

这是在给定区间上二分查找排名的时候。其实就是查找比给定数值小的数的个数。这个时候如果遇上和给定数x相同的数，应当算作比x大来处理。

 

通过这个题目我知道了归并树的应用以及二分中一些细节的处理，这是以前不曾遇到的。

具体实现可参见我的代码：

1. #include 
3. using namespace std;
5. const int N = 100010;
7. struct node
8. {
9.     int x, y;
10.     int dep;
11. }seg[N<<3];
13. int sorted[18][N];
14. int n, m;
16. int readData() 
17. { 
18.     int ret = 0; 
19.     char ch; 
20.     bool dot = false,neg = false; 
21.     while (((ch=getchar()) > '9' || ch < '0') && ch != '-') ; 
22.     if (ch == '-') { 
23.         neg = true; 
24.         ch = getchar(); 
25.     } 
26.     do { 
27.         ret = ret*10 + (ch-'0'); 
28.     } while ((ch=getchar()) <= '9' && ch >= '0') ; 
29.     return (neg? -ret : ret); 
30. }
32. void build(int root, int x, int y, int depth)
33. {
34.     seg[root] = (node){x, y, depth};
35.     if(x != y)
36.     {
37.         int mid = (x + y) >> 1;
38.         build(root * 2, x, mid, depth + 1);
39.         build(root * 2 + 1, mid + 1, y, depth + 1);
40.         
41.         int i = x, j = mid + 1, t = x;
42.         while(i <= mid || j <= y)
43.         {
44.             if(j > y || (i <= mid && sorted[depth+1][i] <= sorted[depth+1][j])) 
45.                 sorted[depth][t++] = sorted[depth+1][i++];
46.             else sorted[depth][t++] = sorted[depth+1][j++];
47.             
48.         }
49.     }
50.     else scanf("%d",&sorted[depth][x]);
51. }
53. int be, en, Kth;
55. int query(int root, int x)
56. {
57.     if(be <= seg[root].x && en >= seg[root].y)
58.     {
59.         int low = seg[root].x, up = seg[root].y;
60.         int d = seg[root].dep;
61.         
62.         if(x <= sorted[d][low]) return 0;
63.         else if(x > sorted[d][up]) return seg[root].y - seg[root].x + 1;
64.         
65.         while(low < up)
66.         {
67.             int mid = (low + up + 1) >> 1;
68.             if(sorted[d][mid] >= x) up = mid - 1;
69.             else low = mid;
70.         }
71.         return low - seg[root].x + 1;
72.     }
73.     else
74.     {
75.         int ans = 0;
76.         int mid = (seg[root].x + seg[root].y) >> 1;
77.         if(be <= mid) ans += query(root * 2, x);
78.         if(en > mid) ans += query(root * 2 + 1, x);
79.         return ans;
80.     }
81. }
83. int main()
84. {
85.     int i, j;
86.     
87.     n = readData(), m = readData();
88.     
89.     build(1, 1, n, 0);
90.     
91.     for(; m; m--)
92.     {
93.         be = readData(), en = readData(), Kth = readData();
94.         int low = 1, up = n;
95.         while(up > low)
96.         {
97.             int mid = (up + low + 1) >> 1;
98.             if(query(1, sorted[0][mid]) >= Kth) up = mid - 1;
99.             else low = mid;
100.         }
101.         printf("%d/n",sorted[0][low]);
102.     }
103.     return 0;
104. }