一些通过数学分析解决的算法题汇总

写在前面

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我发现最近经常会遇到一些需要通过数学分析去解决的问题，做的时候想着各种方法，然后看到题解，发现可以用数学分析的方式，找到非常快的解决办法，整个人就emmmmm了，所以这里开这篇博文，用来记录自己碰到的可以用数学分析的方式解决的算法问题，不断更新。

“树根”相关问题

“树根”在维基百科的定义如下：

在数学中，数根(又称位数根或数字根Digital root)是自然数的一种性质，换句话说，每个自然数都有一个数根。数根是将一正整数的各个位数相加（即横向相加），若加完后的值大于10的话，则继续将各位数进行横向相加直到其值小于十为止，或是，将一数字重复做数字和，直到其值小于十为止，则所得的值为该数的数根。例如54817的数根为7，因为5+4+8+1+7=25，25大于10则再加一次，2+5=7，7小于10，则7为54817的数根。

那么“树根”又有什么用途呢？

数根可以计算模运算的同余，对于非常大的数字的情况下可以节省很多时间。数字根可作为一种检验计算正确性的方法。例如，两数字的和的数根等于两数字分别的数根的和。另外，数根也可以用来判断数字的整除性，如果数根能被3或9整除，则原来的数也能被3或9整除。

接下来讨论我们怎么求出树根。我们把 1 到 30 的树根列出来。

原数: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
数根: 1 2 3 4 5 6 7 8 9  1  2  3  4  5  6  7  8  9  1  2  3  4  5  6  7  8  9  1  2  3 

可以发现数根 9 个为一组， 1 - 9 循环出现。我们需要做就是把原数映射到树根就可以，循环出现的话，想到的就是取余了。结合这个规律，对于给定的 n 有三种情况。

• n 是 0 ，数根就是 0。
• n 不是 9 的倍数，数根就是 n 对 9 取余，即 n mod 9。
• n 是 9 的倍数，数根就是 9。

我们可以把两种情况统一起来，我们将给定的数字减 1，相当于原数整体向左偏移了 1，然后再将得到的数字对 9 取余，最后将得到的结果加 1 即可。原数是 n，树根就可以表示成 (n-1) mod 9 + 1，可以结合下边的过程理解。

原数: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
偏移: 0 1 2 3 4 5 6 7 8  9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 
取余: 0 1 2 3 4 5 6 7 8  0  1  2  3  4  5  6  7  8  0  1  2  3  4  5  6  7  8  0  1  2  
数根: 1 2 3 4 5 6 7 8 9  1  2  3  4  5  6  7  8  9  1  2  3  4  5  6  7  8  9  1  2  3 

所以，求一个数的树根，一句代码就可以实现，即(num - 1) % 9 + 1;，这里给出一个题目，一句代码即可。

public int addDigits(int num) {
    return (num - 1) % 9 + 1;
}

计算阶乘0的个数

这个我之前单独写过一篇文章，这里就不赘述了，地址。

四平方和定理

四平方和定理，意思是任何正整数都能表示成四个平方数的和。少于四个平方数的，像 $12$ 这种，可以补一个 $0$ 也可以看成四个平方数，$12=4+4+4+0$。知道了这个定理，对于题目要找的解，其实只可能是 $1,2,3,4$ 其中某个数。

Legendre’s three-square theorem ，这个定理表明，如果正整数 n 被表示为三个平方数的和，那么 $n$ 不等于 $4^a\ast (8b+7)$，$a$ 和 $b$ 都是非负整数。换言之，如果 $n==4^a\ast (8b+7)$ ，那么他一定不能表示为三个平方数的和，同时也说明不能表示为一个、两个平方数的和，因为如果能表示为两个平方数的和，那么补个 $0$，就能凑成三个平方数的和了。

一个、两个、三个都排除了，所以如果 $n==4^a\ast (8b+7)$，那么 $n$ 只能表示成四个平方数的和了。所以代码的话，我们采取排除的方法。

• 首先考虑答案是不是 $1$，也就是判断当前数是不是一个平方数。

• 然后考虑答案是不是 $4$，也就是判断 n 是不是等于 $4^a\ast (8b+7)$。

• 然后考虑答案是不是 $2$，当前数依次减去一个平方数，判断得到的差是不是平方数。

• 以上情况都排除的话，答案就是 $3$。

public int numSquares(int n) {
    if (isSquare(n)) {
        return 1;
    }

    int temp = n;
    while (temp % 4 == 0) {
        temp /= 4;
    }
    if (temp % 8 == 7) {
        return 4;
    }

    for (int i = 1; i * i < n; i++) {
        if (isSquare(n - i * i)) {
            return 2;
        }
    }

    return 3;
}

private boolean isSquare(int n) {
    int sqrt = (int) Math.sqrt(n);
    return sqrt * sqrt == n;
}