《信号与系统学习笔记》—连续时间博里叶变换（二）

注：本博客是基于奥本海姆《信号与系统》第二版编写，主要是为了自己学习的复习与加深。

一、连续时间博里叶变换性质

一个信号x(t)及其博里叶变换X(jw)由如下博里叶变换的综合和分析公式

和

联系起来的。有时为了方便，将X(jw)用F{x(t)}表示，将x(t)用F-1{X(jw)}表示；叶将x(t)和X(jw)这一对博里叶变换用下列符号表示：

一）、线性性质

1、若

且

则

二）、时移性质

若

则

这个性质说明：信号在时间上移位，并不改变它的博里叶变换的模；也就是说，若将X(jw)用极坐标表示为

那么

因此，信号在时间上的移位只是它的变换中引入相移，即-w0t，相移与频率w成线性关系。

三）、共轭与共轭对称性

1、共轭性质是指，若

则

2、共轭性质能证明，若x(t)为实函数，那么X(jw)就具有共轭对称性，即

3、若将X(jw)用笛卡尔坐标表示为

那么若x(t)为实函数，则有

和

也就是说，博里叶变换的实部是频率的偶函数，二虚部则是频率的奇函数。

若将X(jw)用极坐标表示为

那么，可以得出：|X(jw)|是频率w的偶函数，是频率w的奇函数。

若x(t)为实偶函数，那么X(jw)也一定为实偶函数

若x(t)是时间的实奇函数，而又x(t)=-x(-t)，那么X(jw)就是纯虚奇函数。

4、一个实函数x(t)总是可以用一个偶函数和一个奇函数之和来表示。即

根据博里叶变换的线性性质，有

并且，根据上面的讨论，是一个实函数，是一个纯虚函数，于是可以得出，若x(t)为实函数则有

四）、微分和积分

1、微分性质

令x(t)的博里叶变换时X(jw)，将博里叶变换综合公式两边对t进行微分可得

这时一个特别重要的性质，因为它将时域内的微分用频域内乘以jw所代替。

2、积分性质

五）、时间与频率的尺度变换

1、若

那么

六）、对偶性

为了确定对偶性之的准确公式，对一下公式积分

得到

同样，对

和

可以到处他们的对偶性质为

和

七）、帕斯瓦尔定理

1、若x(t)和X(jw)是一对博里叶变换，则

上式的左边是信号x(t)的总能量。帕斯瓦尔定理之处，这个总能量既可以按每单位时间内的能量(|x(t)2|)在整个时间内积分急速拿出来，也可以按每单位频率内的能量(|X(jw)2/2π|)在整个频率范围内积分而得到。因此|X(jw)|2常称为信号x(t)的能谱密度。

二、卷积性质

上式所表达的，它将两个信号的卷积映射为其博里叶变换的乘积。

三、相乘性质

1、相乘性质

2、一个信号被另一个信号去乘，可以理解为用一个洗你号去调制另一个信号的振幅，因此两个信号相乘往往也称为振幅调制。因此上式也称为调制性质。

一）、具有可变中心频率的频率选择性滤波器

1、相乘性质的一个重要应用是在同行系统中的振幅调制。另一个重要应用是在中心频率可调的频率选择性带通滤波器的实现上，其中心频率可以很简单的用一个调谐旋钮来调节。

四、博里叶变换性质和基本博里叶变换对列表

1、博里叶变换性质

2、基本博里叶变换对