【笔记整理】通信原理第四章复习——数字基带传输

4.1 引言

1. 数字基带信号——数字信号「补充：基带信号（指未经调制的信号。特征是其频谱从零频率或很低频率开始，占据较宽的频带。）基带在传输前，必须经过一些处理或某些变换，比如码型变换、波形变换和频谱变换，才能送入信道中传输。处理或变换是为了使信号的特性与信道的传输特性相匹配。」
2. 数字基带传输 vs. 数字频带传输

• 在某些具有低通特性的有限信道红，特别在传输距离不太远时，可直接传输数字基带信号——数字基带传输
• 但大多数信道属于带通型，比如各种无线信道和光信道。带通型信道中，数字基带信号必须经过载波调制，把频谱搬移到高载频处才能在信道中传输——数字频带（调制或载波）传输

3. 为什么研究数字基带传输系统？

• 大多数局域网使用基带传输
• 数字基带传输中包含频带传输的许多基本问题
• 任何一个采用线性调制的频带传输系统可等效为基带传输系统进行研究

4. 数字基带传输系统的结构
   信道信号形成器、信道、接收滤波器、抽样判决器和同步系统

• 信道信号形成器：基带传输系统的输入时由终端设备或编码器产生的脉冲序列，一般不适合直接送到信道中传输
  • 把原始基带信号变换成适合于信道传输的基带信号**——码型变换、波形变换
  • 【目的】与信道匹配，便于传输，减小码间串扰，利于同步提取和抽样判决
• 信道 ：语序基带信号通过的媒介，通常为有限信道（不满足无失真条件、随机变化、引入噪声）
• 接受滤波器：滤除带外噪声，对信道特性均衡，使输出的基带波形有利于抽样判决
• 抽样判决器：在传输特性不理想及噪声背景下，在规定时刻对接受滤波器的输出波形进行抽样判决，以恢复或再生基带信号

4.2 数字基带信号及其频谱特性

4.2.1 数字基带信号的波形——线路编码

数字基带信号是指消息代码的电波形，它是用不同的电平或脉冲来表示相应的消息代码。数字基带信号的类型有很多，常见的有矩形脉冲、三角波、高斯脉冲和升余弦脉冲等。
最常用的是矩形脉冲，因为矩形脉冲易于形成和变换。

1. 单极性不归零波形（NRZ）
   其特点是极性单一，有直流分量，脉冲之间无间隔。
   位同步信息包含在电平的转换之中，出现连0、连1序列时没有位同步信息。
   等概时，抽样判决电平为$\frac{E}{2}$。
2. 双极性不归零波形（NRZ）
   当0、1符号等可能出现时无直流分量。
   判决电平为0，因而不受信道特性变化的影响，抗干扰能力也较强。
   当出现连0、连1序列时没有位同步信息。
3. 单极性归零波形（RZ）
   有直流分量；可以直接提取定时信息，是其他波形提取位定时信号时需要采用的一种过渡波形；判决门限$\frac{E}{2}$
4. 双极性归零波形（RZ）
   无直流分量；有利于同步脉冲的提取；判决门线0；$\tau$越小，谱线越宽
5. 差分波形
   这种波形不是用码元本身的电平表示消息代码，而是用相邻码元的电平的跳变和不变来表示消息代码；差分波形是以相邻脉冲电平的相对变化来表示代码，因此称它为相对码波形。
6. 多电平波形
   多于一个二进制符号对应一个脉冲，一个脉冲可以代表多个二进制符号。
   传码率一定，多电平波形的传信率高，用于高数据速率传输系统。

4.2.2 数字基带信号的数学表达式

$$s(t)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }{a}_{n}g(t-n{T}_s)$$

4.2.3 数字基带频谱特性

必要性（为什么要研究基带信号的频谱特性？）——通过谱分析，可以了解信号需要占据的频带宽度，所包含的频谱分量，有无直流分量，有无定时分量等。针对信号谱的特点来选择相匹配的信道，以及确定是否可从信号中提取定时信号。
方法——数字基带信号是随机的脉冲序列，没有确定的频谱函数，所以只能用功率谱来描述它的频谱特性。

• 交变波$u(t)$的功率谱密度$P_u(\omega )$
  $$P_u(\omega )=f_{s}P(1-P)[G_1(f)-G_2(f){]}^2$$

• 稳态波$v(t)$的功率谱密度$P_v(\omega )$
  $$P_v(\omega )=\sum _{n=-\infty }^{\infty }|f_s[P{G}_1(f)+(1-P)G_2(f)]{|}^2\delta (f-n{f}_s)$$
• $s(t)=u(t)+v(t)$的功率谱密度$P_s(f)$
  随机序列$s(t)$的功率谱密度为
  $$\begin{gathered} P_s(f)=P_u(f)+P_v(f) \\ =f_{s}P(1-P)[G_1(f)-G_2(f){]}^2 \\ +\sum _{n=-\infty }^{\infty }|f_s[P{G}_1(f)+(1-P)G_2(f)]{|}^2\delta (f-n{f}_s) \end{gathered}$$
  【结论】随机脉冲序列的功率谱可能包含连续谱和离散谱。

• 对于连续谱而言，由于$g_1(t)\ne g_2(t)$，因为总是存在；
• 由连续谱可确定信号带宽；
• 离散谱是否存在，取决$g_1(t)$和$g_2(t)$的波形及出现的概率$P$；
• 当$g_1(t)=g_2(t)$，且$P=\frac{1}{2}$（双极性，0、1等概）时，离散谱消失。

4.3 基带传输的常用码型

1. 对传输用的基带信号主要有两个方面的要求：

• 对代码的要求：原始消息代码必须变成适合于传输用的码型；
• 对于所选码型的电波形要求：电波形应适合于基带系统的传输。
  前者睡传输码型的选择，后者是基带脉冲的选择。

2. 传输码的结构应具有下列主要特性：

• 相应的基带信号无直流分量，且低频分量少
• 便于从信号中提取定时信息；
  【补充】定时成分（定时成分就是码元的跳变，拿归零信号和不归零信号来说，不归零信号如果长时间没有码元跳变时，就很难提取定时信号，在解码时就容易出现码元丢失或重复；二归零信号就不会存在这个问题，每个码元内都有跳变，所以很容易提取定时成分。）
• 信号中高频分量尽量少，以节省传输频带并减少碼间串扰；
• 不受信息源统计特性的影响，即能适应于信息源的变化；
• 具有内在的检错能力；
• 编译码电路要尽可能简单。

3. 常用线路码

• AMI码（传号交替反转码）1B1T
  【编码规则】
  将二进制消息代码“1”（传号）交替地变换为传输码的“+1”和“-1”，而“0”（空号）保持不变。
  优点：不含直流成分，高、低频分量少，能量集中在频率为$\frac{1}{2}$码速处。AMI码的编译码电路简单，具有一定的自检能力。
  缺点：连“0”时，不易确定码元起止时刻，定时提取困难。
• HDB3码（3阶高密度双极性码）1B1T
  【编码规则】
  • 当信码的连“0”个数不超过3时，仍按AMI码的龟策编，即传号极性交替；
  • 当连“0”个数超过3时，每4个“0”划分为一个小节。将第4个“0”改为非“0”脉冲，即为+V或-V，称之为破坏脉冲。
  • 相邻V码的极性必须交替出现，以确保编好的码中无直流；
  • 为了便于识别，V码的极性应与其前一个非“0”脉冲的极性相同，否侧，将四连“0”的第一个“0”更改为与该破坏脉冲相同极性的脉冲，并即为+B或-B；
  • 破坏脉冲之后的传号码极性也要交替。

HDB3码保持了AMI码的优点外（不含直流分量，高低频分量少，能量集中在频率为$\frac{1}{2}$码速处。编译码电路简单，具有一定的自检能力），同时还将连“0”码限制在3个以内，故有利于位定时信号的提取。有一定自检能力，较为复杂。

• 数字双向码
  【编码规则】
  “0”码用“01”两位码表示
  “1”码用“10”两位码表示
  优点：1B2B码；这种码的正、负电平各半，所以无直流分量；在每个码元周期的中心点都存在电平跳变，所以富含位定时信息；具有一定的自检能力——连“1”、“0”个数不超过2个；编码过程简单；带宽比原信码大1倍；用于本地数据网。
• CMI码（传号反转码的简称）用于PCM高高次群
  【编码规则】
  “1”码交替用“11”和“00”两位码表示
  “0”码固定地用“01”表示
  优点：1B2B码无直流分量；有较多的电平跃变，因此含有丰富的定时信息；具有一定的自检能力，由于10为禁用码组，不会出现3个以上的连码；带宽比原信码大1倍；易于实现。

4.4 数字基带传输与碼间串扰

误码原因：信道加性噪声；码间串扰
码间串扰（ISI）：系统传输总特性不理想，导致前后码元的波形畸变、展宽，并使波形出现很长的拖尾，蔓延到当前码元的抽样时刻上，从而对当前码元的抽样判决造成干扰。

4.5 无码间串扰的基带传输特性

1. 消除码间串扰的基本思想：

• 无码间串扰基带传输特性应满足的时域条件：
  $$h(k{T}_s)=\{\begin{array}{ll}1& ,k=0\\ 0& ,k\text{为其他整数}\end{array}$$
  【说明】无码间串扰的基带系统冲激响应除$t=0$时取值不为零外，其他抽样时刻$t=k{T}_s$上的抽样值均为零
• 无码间串扰基带传输特性应满足的频域条件：
  $$\sum _{i=-\infty }^{\infty }H(\omega +\frac{2\pi i}{T_s})=T_s,|\omega |\le \frac{\pi }{T_s}$$
  • ${\sum }_{i=-\infty }^{\infty }H(\omega +\frac{2\pi i}{T_s})$含义
    将$H(\omega )$在$\omega$轴上移位$\frac{2\pi i}{T_s}$，然后把各项移至$|\omega |\le \frac{\pi }{T_s}$区间内的内容进行叠加
• 理想低通特性
  $$H_{eq}(\omega )=H(\omega )=\{\begin{array}{ll}{\sum }_{i=-\infty }^{\infty }H(\omega +\frac{2\pi i}{T_s})=T_s& ,|\omega |\le \frac{\pi }{T_s}\\ 0& ,|\omega |>\frac{\pi }{T_s}\end{array}$$
  【结论】输入序列若以$\frac{1}{T_s}$波特的速率进行传输时，所需的最小传输带宽为$\frac{1}{2T_s}$——在抽样时刻无码间串扰条件下，基带系统所能达到额极限情况——基带系统能提供的最高频带利用率$\eta =2$
  • 奈奎斯特带宽：无码间串扰的最大传输带宽$\frac{1}{2T_s}$，记为$W_1$
  • 奈奎斯特速率：无码间串扰的最高传输速率为$2W_{1}Baud$
• 理想低通传输特性的基带系统优缺点：
  【优点】有最大的频带利用率$\eta =2$
  【缺点】理想矩形特性的物理实现困难；冲击响应$h(t)$有很长的“拖尾”，衰减慢，可能出现严重码间串扰
• 解决方法——引入滚降
  滚降系数：
  $$\alpha =\frac{W_2}{W_1}$$
  冲激响应：
  $$h(t)=\frac{\sin (\frac{\pi t}{T_s})}{\frac{\pi t}{T_s}}\cdot \frac{\cos [\alpha (\frac{\pi t}{T_s})]}{1-4{\alpha }^2\frac{t^2}{T_s^2}}$$
  带宽：
  $$B=\frac{1+\alpha }{2T_s}=(1+\alpha )\cdot \frac{R_B}{2}$$
  频带利用率：
  $$\eta =\frac{R_B}{B_{\alpha }}=\frac{2f_N}{(1+\alpha )f_N}=\frac{2}{1+\alpha }$$
• 升余弦滚降特性
  滚降系数：
  $$\alpha =1$$
  系统特性：
  $$H(\omega )=\{\begin{array}{ll}\frac{T_s}{2}(1+\cos \frac{\omega T_s}{2})& ,|\omega |\le \frac{2\pi }{T_s}\\ 0& ,|\omega |>\frac{2\pi }{T_s}\end{array}$$
  冲激响应：
  $$h(t)=\frac{\sin (\frac{\pi t}{T_s})}{\frac{\pi t}{T_s}}\cdot \frac{\cos (\frac{\pi t}{T_s})}{1-4\frac{t^2}{T_s^2}}$$
  带宽：
  $$B=\frac{1+\alpha }{2T_s}=(1+\alpha )\cdot \frac{R_B}{2}=R_B$$
  频带利用率：
  $$\eta =\frac{R_B}{B_{\alpha }}=\frac{2f_N}{(1+\alpha )f_N}=\frac{2}{1+\alpha }=1$$
  【优点】相应曲线尾部迅速收敛，摆幅小；对定时要求不严格
  【缺点】带宽增加；频率利用率降低

4.6 部分响应系统

• 第一类频谱主要集中在低频段，适用于信道频带高频严重受限的场合；
• 第四类频谱无直流分量，且低频分量小，便于通过载波线路，实现单边带调制——运用广泛
• 当输入为$L$进制信号时，经部分响应传输系统的第一类、第四类部分响应得到的信号的电平数为$2L-1$

【优点】能实现2Baud/Hz的频带利用率，且传输波形的“尾巴”衰减大和收敛快；改善了频谱特性；使相应波形尾部迅速收敛，摆幅较小
【缺点】当输入数据为$L$进制时，部分响应波形的相关编码电平数要超过$L$个——在同样输入信噪比条件下，部分响应系统的抗噪声性能要比0类相应系统差

4.7 无码间串扰基带系统的抗噪声性能

• 基带传输系统总误码率：
  $$P_e=P(1)P(0/1)+P(0)P(1/0)=P(1){\int }_{-\infty }^{V_d}{f}_1(x)dx+P(0){\int }_{V_d}^{+\infty }{f}_0(x)dx$$

  • 双极性信号
    $$f_0(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }{\sigma }_n}{e}^{-\frac{(x+A{)}^2}{2{\sigma }_n^2}}$$ $$f_1(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }{\sigma }_n}{e}^{-\frac{(x-A{)}^2}{2{\sigma }_n^2}}$$
    最佳判决门限（在$P(1)$、$P(1)$、$A$和均方误差${\sigma }_n^2$一定的条件下，可以找到一个使误码率小的判决门限电平$V_d$，这个门限电平成为最佳门限电平）：
    $$V_d=\frac{{\sigma }_n^2}{2A}\ln \frac{P(0)}{P(1)}$$
    在最下判决门限下的总误码率：
    $$P_e=\frac{1}{2}erfc(\frac{A}{\sqrt{2}{\sigma }_n})$$
    【结论】在发送概率相等，且在最佳门限电平下，系统的总误码率仅依赖于信号峰值$A$与噪声均方根值${\sigma }_n$的比值。而与采用什么样的信号形式无关
    比值$\frac{A}{{\sigma }_n}$越大，$P_e$就越小

  • 单极性信号
    $$f_0(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }{\sigma }_n}{e}^{-\frac{x^2}{2{\sigma }_n^2}}$$ $$f_1(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }{\sigma }_n}{e}^{-\frac{(x-A{)}^2}{2{\sigma }_n^2}}$$
    最佳判决门限：
    $$V_d=\frac{A}{2}+\frac{{\sigma }_n^2}{A}\ln \frac{P(0)}{P(1)}$$
    在最下判决门限下的总误码率：
    $$P_e=\frac{1}{2}erfc(\frac{A}{2\sqrt{2}{\sigma }_n})$$

【对比】在单极性与双极性基带信号的峰值$A$相等、噪声均方根值${\sigma }_n$相同时，单极性基带系统的抗噪声性能不如双极性基带系统
在等概条件下，单极性的最佳判决门限电平为$\frac{A}{2}$，随信道特性发生变化，不能保持最佳状态，导致误码率增大。而双极性的最佳判决门限电平为0，能保持最佳状态。
基带系统多采用双极性信号进行传输

4.8 眼图

眼图是指利用实验手法方便地估计和改善（通过调整）系统性能时在示波器上观察到的一种图形。眼图定性反映码间串扰和噪声的大小。
眼睛睁开度比较大，线迹细且清晰——性能好，ISI小
ISI大时，眼图不端正；有噪声时，线迹变宽
可以观察到：最佳判决门限（中央的横轴位置）、最佳判决时刻、信号失真、过零点失真、噪声容限、定时误差灵敏度（斜边）
接受二进制波形时，在一个码元周期$T_s$内只能看到一只眼睛；若接受的是$M$进制波形，则在一个码元周期内可以看到纵向显示的$M-1$只眼睛；另外，若扫描周期为$n{T}_s$时，可以看到并排的$n$只眼睛。

4.9 均衡技术

在基带系统中插入一种可调（或不可调）滤波器可以校正或补偿系统特性，减小码间串扰的影响，这种起补偿作用的滤波器成为均衡器。

• 频域均衡和时域均衡
  • 频域均衡：从校正系统的频域出发，使包括均衡器在内的基带系统的总特性满足无失真传输条件
  • 时域均衡，是利用均衡器产生的时间波形取直接矫正已畸变的波形，使包括均衡器在内的整个系统的冲击响应满足无码间串扰条件。

4.9.1 时域均衡原理

• 横向滤波器
  $$T(\omega )=\frac{T_s}{{\sum }_{i=-\infty }^{\infty }H(\omega +\frac{2\pi i}{T_s})}$$
  • 横向滤波器组成：由延迟单元$T_s$和抽头加权系数$C_n$组成，可以实现时域均衡。
  • 功能：将输入端（接受滤波器输出端）抽样时刻上有码间串扰的响应波形变换成抽样时刻上无码间串扰的响应波形。
  • 无限长的横向滤波器可以（至少在理论上）完全消除抽样时刻上的码间串扰，但其实际上是不可实现的。
  • 利用有限长的横向滤波器减小码间串扰是可能的，但完全消除是不可能的。
    $$y_k=\sum _{i=-N}^N{C}_i{x}_{k-i}$$

4.9.2 均衡效果的衡量

在抽头数有限情况下，均衡器的输出将有剩余失真，为了反映这些失真的大小，一般采用峰值失真准则和均方失真准则作为衡量标准。

• 峰值失真准则
  $$D=\frac{1}{y_0}\sum _{k=-\infty ,k\ne 0}^{\infty }|y_k|$$
• 均方失真准则
  $$e^2=\frac{1}{y_0^2}\sum _{k=-\infty ,k\ne 0}^{\infty }{y}_k^2$$