解析函数

文章目录

  • 一、解析函数的概念
      • 学习目标
    • 1、复变函数的导数
    • 2、解析函数的概念
  • 二、解析函数的充要条件
      • 学习目标
    • 1、可导充要性
    • 2、解析充要性
  • 三、初等函数
      • 学习目标
    • 1、指数函数
    • 2、对数函数
    • 3、幂函数
    • 4、三角函数

一、解析函数的概念

学习目标

  • 会用求导定义公式求导
  • 函数在一点解析的定义
  • 函数在区域解析的定义
  • 函数可导与解析的关系(一点与区域)
  • 会判别函数的解析性
  • 奇数的定义以及与不可导点的关系
  • 会求函数的奇点

1、复变函数的导数

    定义: 设函数 w = f ( z ) w=f(z) w=f(z) 定义与区域 D D D. z 0 z_0 z0 D D D 中的一点,点 z 0 + Δ z z_0+\Delta z z0+Δz 不出 D D D 的范围. 如果极限 lim ⁡ Δ z → 0 f ( z 0 + Δ z ) − f ( z 0 ) Δ z \lim_{\Delta z \to 0} \frac{f(z_0+\Delta z)-f(z_0)}{ \Delta z} Δz0limΔzf(z0+Δz)f(z0)存在,那么就说 f ( z ) f(z) f(z) z 0 z_0 z0 可导. 这个极限值称为 f ( z ) f(z) f(z) z 0 z_0 z0导数,记作 f ′ ( z 0 ) = d w d z ∣ z = z 0 = lim ⁡ Δ z → 0 f ( z 0 + Δ z ) − f ( z 0 ) Δ z f^{'}(z_0)=\frac{dw}{dz}|_{z=z_0}=\lim_{\Delta z \to 0} \frac{f(z_0+\Delta z)-f(z_0)}{ \Delta z} f(z0)=dzdwz=z0=Δz0limΔzf(z0+Δz)f(z0)
应当注意:定义中 Δ z → 0 \Delta z\rightarrow 0 Δz0 的方式是任意的,对任意方向都要存在

2、解析函数的概念

    在复变函数理论中,重要的不是只在个别点可导的函数,而是所谓解析函数.
    定义:如果函数 f ( z ) f(z) f(z) z 0 z_0 z0 z 0 z_0 z0 的领域内处处可导,那么称 f ( z ) f(z) f(z) z 0 z_0 z0 解析. 如果 f ( z ) f(z) f(z) 在区域 D D D 内每一点解析,那么称 f ( z ) f(z) f(z) D D D 内解析,或称 f ( z ) f(z) f(z) D D D 内的一个解析函数.
    如果 f ( z ) f(z) f(z) z 0 z_0 z0 不解析,那么称 z 0 z_0 z0 f ( z ) f(z) f(z)奇点.
    由定义可知,函数在区域内解析与在区域内可导是等价的. 但是,函数在一点处解析和在一点处可导是两个不等价的概念. 就是说,函数在一点处可导,不一定在该点处解析. 函数在一点处解析比在该点处可导的要求要高的多.
    例题:研究函数 w = 1 z w=\frac{1}{z} w=z1 的解析性
解 解
    因为 w w w 在复平面内除点 z = 0 z=0 z=0 外处处可导,且 d w d z = − 1 z 2 \frac{dw}{dz}=-\frac{1}{z^2} dzdw=z21所以在除 z = 0 z=0 z=0 外的复平面内,函数 w = 1 z w=\frac{1}{z} w=z1 处处解析,而 z = 0 z=0 z=0 是它的奇点.
    根据求导法则,不难证明:
    定理   
         1 ) 1) 1在区域 D D D 内解析的两个函数 f ( z ) f(z) f(z) g ( z ) g(z) g(z) 的和、差、积、商(分母不为零)在 D D D 内解析.
         2 ) 2) 2设函数 h = g ( z ) h=g(z) h=g(z) z z z 平面上的区域 D D D 内解析,函数 w = f ( h ) w=f(h) w=f(h) h h h 平面内的区域 G G G 内解析. 如果对 D D D 内的每一点 z z z,函数 g ( z ) g(z) g(z) 的对应值 h h h 都属于 G G G,那么复合函数 w = f [ g ( z ) ] w=f[g(z)] w=f[g(z)] D D D 内解析.

    从这个定理可以推知,所有多项式在复平面内是处处解析的,任何一个有理分式函数 P ( z ) Q ( z ) \frac{P(z)}{Q(z)} Q(z)P(z) 在不含分母为零的点的区域内是解析函数,使分母为零的点是它的奇点.

二、解析函数的充要条件

学习目标

  • C − R C-R CR 条件判别函数的可导性与解析性
  • 掌握求导公式

1、可导充要性

    定理一:设函数 f ( z ) = u ( x , y ) + i v ( x , y ) f(z)=u(x,y)+iv(x,y) f(z)=u(x,y)+iv(x,y) 定义在区域 D D D 内,则 f ( z ) f(z) f(z) D D D 内一点 z = x + i y z=x+iy z=x+iy 可导的充要条件是: u ( x , y ) u(x,y) u(x,y) v ( x , y ) v(x,y) v(x,y) 在点 ( x , y ) (x,y) (x,y) 可微,并且在该点满足柯西-黎曼 ( C − R ) (C-R) (CR)方程 ∂ u ∂ x = ∂ v ∂ y , ∂ u ∂ y = − ∂ v ∂ x \frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y},\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x} xu=yvyu=xv
    可以得到函数 f ( z ) = u ( x , y ) + i v ( x , y ) f(z)=u(x,y)+iv(x,y) f(z)=u(x,y)+iv(x,y) 在点 z = x + i y z=x+iy z=x+iy 处的导数公式: f ′ ( z ) = ∂ u ∂ x + i ∂ v ∂ x f^{'}(z)=\frac{\partial u}{\partial x}+i\frac{\partial v}{\partial x} f(z)=xu+ixv

2、解析充要性

    定理二:函数 f ( z ) = u ( x , y ) + i v ( x , y ) f(z)=u(x,y)+iv(x,y) f(z)=u(x,y)+iv(x,y) 在其定义域 D D D 内解析的充要条件是: u ( x , y ) u(x,y) u(x,y) v ( x , y ) v(x,y) v(x,y) D D D 内可微,并且满足柯西-黎曼方程
∂ u ∂ x = ∂ v ∂ y , ∂ u ∂ y = − ∂ v ∂ x \frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y},\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x} xu=yvyu=xv

例题:判定函数 w = z R e ( z ) w=zRe(z) w=zRe(z) 在何处可导,在何处解析:
    由 w = z R e ( z ) = x 2 + i x y w=zRe(z)=x^2+ixy w=zRe(z)=x2+ixy,得 u = x 2 , v = x y u=x^2,v=xy u=x2v=xy,所以 ∂ u ∂ x = 2 x , ∂ u ∂ y = 0 \frac{\partial u}{\partial x}=2x,\frac{\partial u}{\partial y}=0 xu=2xyu=0 ∂ v ∂ x = y , ∂ v ∂ y = x . \frac{\partial v}{\partial x}=y,\frac{\partial v}{\partial y}=x. xv=yyv=x.容易看出,这四个偏导数处处连续,但是仅当 x = y = 0 x=y=0 x=y=0 时,它们才满足柯西-黎曼方程,因而函数仅在 z = 0 z=0 z=0 可导,但在复平面内任何地方都不解析.

三、初等函数

学习目标

  • 指数函数(定义,周期性,解析性)
  • 对数函数(定义,解析性,性质)
  • 幂函数(定义,解析性)
  • 三角函数(正弦函数与余弦函数的定义,解析性,周期性,非有界性)

1、指数函数

    复变数 z z z指数函数满足下列三个条件:
     1 ) 1) 1 f ( z ) f(z) f(z)在复平面内处处解析;
     2 ) 2) 2 f ′ ( z ) = f ( z ) f^{'}(z)=f(z) f(z)=f(z);
     3 ) 3) 3 I m ( z ) = 0 Im(z)=0 Im(z)=0 时, f ( z ) = e x f(z)=e^x f(z)=ex,其中 x = R e ( z ) x=Re(z) x=Re(z).
记作 e x p ( z ) = e z = e x ( c o s y + i s i n y ) exp(z)=e^z=e^x(cosy+isiny) exp(z)=ez=ex(cosy+isiny)
    满足加法定理 e z 1 ⋅ e z 2 = e z 1 + z 2 e^{z_1}·e^{z_2}=e^{z_1+z_2} ez1ez2=ez1+z2
    由加法定理:我们可以推出 e x p ( z ) exp(z) exp(z)周期性,他的周期是 2 k π i 2k\pi i 2kπi,即 e π + 2 k π i = e z ⋅ e 2 k π i = e z e^{\pi+2k\pi i}=e^z·e^{2k\pi i}=e^z eπ+2kπi=eze2kπi=ez
其中 k k k 为任何整数,这个性质是实变指数函数 e z e^z ez 所没有的.

2、对数函数

    对数函数 w = f ( z ) w=f(z) w=f(z)多值函数,并且每两个值相差 2 π i 2\pi i 2πi 得整数倍,记作 L n z = l n ∣ z ∣ + i A r g z . Lnz=ln|z|+iArgz. Lnz=lnz+iArgz.如果规定上式中的 A r g z Argz Argz 取主值 a r g z argz argz ,那么 L n z Lnz Lnz 为一单值函数,记作 l n z lnz lnz ,称为 L n z Lnz Lnz主值. 这样,我们就有 l n z = l n ∣ z ∣ + i a r g z lnz=ln|z|+iargz lnz=lnz+iargz而其余各个值可由 L n z = l n z + 2 k π i Lnz=lnz+2k\pi i Lnz=lnz+2kπi表示. 其中 k = ± 1 , ± 2 , ⋅ ⋅ ⋅ k=\pm1,\pm2,··· k=±1,±2,
L n z = l n ∣ z ∣ + i a r g z + 2 k π i Lnz=ln|z|+iargz+2k\pi i Lnz=lnz+iargz+2kπi
基本性质:
L n ( z 1 z 2 ) = L n z 1 − L n z 2 Ln(z_1z_2)=Lnz_1-Lnz_2 Ln(z1z2)=Lnz1Lnz2 L n z 1 z 2 = L n z 1 − L n z 2 Ln\frac{z_1}{z_2}=Lnz_1-Lnz_2 Lnz2z1=Lnz1Lnz2但是 l n ( z 1 z 2 ) ≠ l n z 1 + l n z 2 ln(z_1z_2)\neq lnz_1+lnz_2 ln(z1z2)̸=lnz1+lnz2 l n z 1 z 2 ≠ l n z 1 − l n z 2 ln\frac{z_1}{z_2}\neq lnz_1-lnz_2 lnz2z1̸=lnz1lnz2 L n z n ≠ n L n z ( n > 1 ) Lnz^n\neq nLnz(n>1) Lnzn̸=nLnzn>1 L n z n ≠ 1 n L n z ( n > 1 ) Ln\sqrt[n]{z}\neq \frac{1}{n}Lnz(n>1) Lnnz ̸=n1Lnz(n>1) i A r g z + i A r g z ⎵ 2 a r g z + 2 ( k 1 + k 2 ) π ≠ 2 i A r g z ⎵ 2 ( a r g z + 2 k π ) \underbrace{iArgz+iArgz}_{2argz+2(k_1+k_2)\pi} \neq \underbrace{ 2iArgz}_{2(argz+2k\pi)} 2argz+2(k1+k2)π iArgz+iArgz̸=2(argz+2kπ) 2iArgz
解析性
    在除去原点和负实轴的 z z z 平面处处解析

3、幂函数

    定义 a b = e b L n a a^b=e^{bLna} ab=ebLna
    多值性:由于 L n a Lna Lna 是多值的,因而 a b a^b ab 也是多值的
    解析性:在除去原点和负实轴的复平面内 z b z^b zb 处处解析,且 ( z b ) ′ = b z b − 1 (z^b)^{'}=bz^{b-1} (zb)=bzb1

4、三角函数

    定义:由 e i y = c o s y + i s i n y e^{iy}=cosy+isiny eiy=cosy+isiny e − i y = c o s y − i s i n y e^{-iy}=cosy-isiny eiy=cosyisiny把这两式相加与相减,分别得到 c o s y = e i y + e − i y 2 , s i n y = e i y − e − i y 2 i cosy=\frac{e^{iy}+e^{-iy}}{2},siny=\frac{e^{iy}-e^{-iy}}{2i} cosy=2eiy+eiysiny=2ieiyeiy现在把余弦和正弦函数的定义推广到自变数取复值得情形,我们定义: c o s z = e i z + e − i z 2 , s i n z = e i z − e − i z 2 i cosz=\frac{e^{iz}+e^{-iz}}{2},sinz=\frac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i} cosz=2eiz+eizsinz=2ieizeiz
    周期性:余弦函数和正弦函数都是以 2 π 2\pi 2π 为周期得周期函数.
    解析性:都是复平面内的解析函数
    非有界性:与实函数完全不同的是 s i n z , c o s z sinz,cosz sinz,cosz 无界,当 y → ∞ 时 , ∣ s i n i y ∣ → ∞ , ∣ c o s i y ∣ → ∞ y\rightarrow\infty时,|siniy|\rightarrow\infty,|cosiy|\rightarrow\infty ysiniycosiy.

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