解析函数

一、解析函数的概念

学习目标

• 会用求导定义公式求导
• 函数在一点解析的定义
• 函数在区域解析的定义
• 函数可导与解析的关系（一点与区域）
• 会判别函数的解析性
• 奇数的定义以及与不可导点的关系
• 会求函数的奇点

1、复变函数的导数

    定义： 设函数 $w=f(z)$ 定义与区域 $D$. $z_0$ 为 $D$ 中的一点，点 $z_0+\Delta z$ 不出 $D$ 的范围. 如果极限$$\underset{\Delta z\to 0}{\lim }\frac{f(z_0+\Delta z)-f(z_0)}{\Delta z}$$存在，那么就说 $f(z)$ 在 $z_0$ 可导. 这个极限值称为 $f(z)$ 在 $z_0$ 的导数,记作$$f^{{}^{\prime }}(z_0)=\frac{dw}{dz}{|}_{z=z_0}=\underset{\Delta z\to 0}{\lim }\frac{f(z_0+\Delta z)-f(z_0)}{\Delta z}$$
应当注意：定义中 $\Delta z\to 0$ 的方式是任意的，对任意方向都要存在

2、解析函数的概念

    在复变函数理论中，重要的不是只在个别点可导的函数，而是所谓解析函数.
    定义：如果函数 $f(z)$ 在 $z_0$ 及 $z_0$ 的领域内处处可导，那么称 $f(z)$ 在 $z_0$ 解析. 如果 $f(z)$ 在区域 $D$ 内每一点解析，那么称 $f(z)$ 在 $D$ 内解析，或称 $f(z)$ 是 $D$ 内的一个解析函数.
    如果 $f(z)$ 在 $z_0$ 不解析，那么称 $z_0$ 为 $f(z)$ 的奇点.
    由定义可知，函数在区域内解析与在区域内可导是等价的. 但是，函数在一点处解析和在一点处可导是两个不等价的概念. 就是说，函数在一点处可导，不一定在该点处解析. 函数在一点处解析比在该点处可导的要求要高的多.
    例题：研究函数 $w=\frac{1}{z}$ 的解析性
$解$：
    因为 $w$ 在复平面内除点 $z=0$ 外处处可导，且$$\frac{dw}{dz}=-\frac{1}{z^2}$$所以在除 $z=0$ 外的复平面内，函数 $w=\frac{1}{z}$ 处处解析，而 $z=0$ 是它的奇点.
    根据求导法则，不难证明：
    定理   
        $1）$在区域 $D$ 内解析的两个函数 $f(z)$ 与 $g(z)$ 的和、差、积、商(分母不为零)在 $D$ 内解析.
        $2）$设函数 $h=g(z)$ 在 $z$ 平面上的区域 $D$ 内解析，函数 $w=f(h)$ 在 $h$ 平面内的区域 $G$ 内解析. 如果对 $D$ 内的每一点 $z$，函数 $g(z)$ 的对应值 $h$ 都属于 $G$,那么复合函数 $w=f[g(z)]$ 在 $D$ 内解析.

    从这个定理可以推知，所有多项式在复平面内是处处解析的，任何一个有理分式函数 $\frac{P(z)}{Q(z)}$ 在不含分母为零的点的区域内是解析函数，使分母为零的点是它的奇点.

二、解析函数的充要条件

学习目标

• 会 $C-R$ 条件判别函数的可导性与解析性
• 掌握求导公式
  

1、可导充要性

    定理一：设函数 $f(z)=u(x,y)+iv(x,y)$ 定义在区域 $D$ 内，则 $f(z)$ 在 $D$ 内一点 $z=x+iy$ 可导的充要条件是：$u(x,y)$ 与 $v(x,y)$ 在点 $(x,y)$ 可微，并且在该点满足柯西-黎曼$(C-R)$方程$$\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}，\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}$$
    可以得到函数 $f(z)=u(x,y)+iv(x,y)$ 在点 $z=x+iy$ 处的导数公式：$$f^{{}^{\prime }}(z)=\frac{\partial u}{\partial x}+i\frac{\partial v}{\partial x}$$

2、解析充要性

    定理二：函数 $f(z)=u(x,y)+iv(x,y)$ 在其定义域 $D$ 内解析的充要条件是：$u(x,y)$ 与 $v(x,y)$ 在 $D$ 内可微，并且满足柯西-黎曼方程
$$\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}，\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}$$

例题：判定函数 $w=zRe(z)$ 在何处可导，在何处解析：
    由 $w=zRe(z)=x^2+ixy$，得 $u=x^2，v=xy$，所以$$\frac{\partial u}{\partial x}=2x，\frac{\partial u}{\partial y}=0$$$$\frac{\partial v}{\partial x}=y，\frac{\partial v}{\partial y}=x.$$容易看出，这四个偏导数处处连续，但是仅当 $x=y=0$ 时，它们才满足柯西-黎曼方程，因而函数仅在 $z=0$ 可导，但在复平面内任何地方都不解析.

三、初等函数

学习目标

• 指数函数（定义，周期性，解析性）
• 对数函数（定义，解析性，性质）
• 幂函数（定义，解析性）
• 三角函数（正弦函数与余弦函数的定义，解析性，周期性，非有界性）

1、指数函数

    复变数 $z$ 的指数函数满足下列三个条件：
    $1）$$f(z)$在复平面内处处解析;
    $2）$$f^{{}^{\prime }}(z)=f(z)$;
    $3）$当$Im(z)=0$ 时，$f(z)=e^x$，其中 $x=Re(z)$.
记作$$exp(z)=e^z=e^x(cosy+isiny)$$
    满足加法定理：$e^{z_1}\cdot e^{z_2}=e^{z_1+z_2}$
    由加法定理：我们可以推出 $exp(z)$ 的周期性，他的周期是 $2k\pi i$，即$$e^{\pi +2k\pi i}=e^z\cdot e^{2k\pi i}=e^z$$
其中 $k$ 为任何整数，这个性质是实变指数函数 $e^z$ 所没有的.

2、对数函数

    对数函数 $w=f(z)$ 为多值函数，并且每两个值相差 $2\pi i$ 得整数倍，记作 $$Lnz=ln|z|+iArgz.$$如果规定上式中的 $Argz$ 取主值 $argz$ ，那么 $Lnz$ 为一单值函数，记作 $lnz$ ,称为 $Lnz$ 的主值. 这样，我们就有$$lnz=ln|z|+iargz$$而其余各个值可由$$Lnz=lnz+2k\pi i$$表示. 其中 $k=\pm 1,\pm 2,\cdot \cdot \cdot$
即$$Lnz=ln|z|+iargz+2k\pi i$$
基本性质：
$$Ln(z_1{z}_2)=Ln{z}_1-Ln{z}_2$$$$Ln\frac{z_1}{z_2}=Ln{z}_1-Ln{z}_2$$但是：$$ln(z_1{z}_2)̸=ln{z}_1+ln{z}_2$$$$ln\frac{z_1}{z_2}̸=ln{z}_1-ln{z}_2$$$$Ln{z}^n̸=nLnz（n>1）$$$$Ln\sqrt[n]{z}̸=\frac{1}{n}Lnz(n>1)$$$$\underset{2argz+2(k_1+k_2)\pi }{iArgz+iArgz}̸=\underset{2(argz+2k\pi )}{2iArgz}$$
解析性
    在除去原点和负实轴的 $z$ 平面处处解析

3、幂函数

    定义：$a^b=e^{bLna}$
    多值性：由于 $Lna$ 是多值的，因而 $a^b$ 也是多值的
    解析性：在除去原点和负实轴的复平面内 $z^b$ 处处解析，且 $(z^b{)}^{{}^{\prime }}=b{z}^{b-1}$

4、三角函数

    定义：由$$e^{iy}=cosy+isiny$$$$e^{-iy}=cosy-isiny$$把这两式相加与相减，分别得到$$cosy=\frac{e^{iy}+e^{-iy}}{2}，siny=\frac{e^{iy}-e^{-iy}}{2i}$$现在把余弦和正弦函数的定义推广到自变数取复值得情形，我们定义：$$cosz=\frac{e^{iz}+e^{-iz}}{2}，sinz=\frac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i}$$
    周期性：余弦函数和正弦函数都是以 $2\pi$ 为周期得周期函数.
    解析性：都是复平面内的解析函数
    非有界性：与实函数完全不同的是 $sinz,cosz$ 无界，当$y\to \infty 时，|siniy|\to \infty ，|cosiy|\to \infty$.