【NOIP2018】【洛谷P5017】摆渡车【DP】

题目大意：

题目链接：https://www.luogu.org/problemnew/show/P5017
有$n$个人分别在$t_1\sim t_n$的时间到达，一辆摆渡车要把这些人送到另外一个地方，摆渡车来回一次要$m$的时间单位。求把这些人都送到的最短时间。

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思路：

肯定可以先把$t$排序。
我们知道，一个人到达后发车只会有两种情况：

1. 摆渡车在他到达之前就到了。此时可以直接发车。
2. 摆渡车在他到达后$k$分钟才到。此时要等$k$分钟才能发车。

可以先预处理出$s[i][j]$，表示第$i$个人到第$j$个人做同一辆车的等待时间。那么就有
$$s[i][j]=\sum _{j=1}^n\sum _{i=1}^{j-1}\sum _{k=i}^{j-1}{t}_j-t_k$$
那么我们就设$f[i][j]$表示在$i$个人到达后发车，第$i$个人等了$j$分钟时的最小等待时间。
那么肯定要枚举$j$，表示前$j$个人已经送到了目的地。
那么如果第$i$个人到达时，摆渡车已经回来了，那么就可以直接发车（即第$i$个人的等待时间为$0$）。此时就有
$$f[i][0]=min(f[i][0],f[j][k]+s[j+1][i])$$
其中$k$表示枚举的第$j$个人等待的时间。
那么如果第$i$个人到达后摆渡车没有回来，那么第$i$个人等待的时间就是
$$w=t_j+k+m-t_i$$
其中$t_j+k+m$是摆渡车回到的时间。
那么就有
$$f[i][w]=min(f[i][w],f[j][k]+s[j+1][i]+(i-j)\ast w)$$
答案就是$min(f[n][i])(i=0\sim m)$
时间复杂度$O(n^{2}m)$，足够过掉本题。

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代码：

#include 
#include 
#include 
using namespace std;

const int N=510;
const int M=210;
const int Inf=2e9;
int n,m,ans,w,t[N],f[N][M],s[N][N];

int main()
{
	scanf("%d%d",&n,&m);
	for (int i=1;i<=n;i++)
		scanf("%d",&t[i]);
	sort(t+1,t+1+n);
	for (int j=1;j<=n;j++)
		for (int i=1;i<j;i++)
			for (int k=i;k<j;k++)
				s[i][j]+=t[j]-t[k];
	memset(f,0x3f3f3f3f,sizeof(f));
	t[0]=-Inf;
	for (int i=0;i<=m;i++)  //初始化
	{
		f[0][i]=0;
		f[1][i]=i;
	}
	for (int i=2;i<=n;i++)
		for (int j=0;j<i;j++)
			for (int k=0;k<=m;k++)
			{
				w=t[j]+k+m-t[i];
				if (w>0)
					f[i][w]=min(f[i][w],f[j][k]+s[j+1][i]+(i-j)*w);
				else
					f[i][0]=min(f[i][0],f[j][k]+s[j+1][i]);
			}
	ans=Inf;
	for (int i=0;i<=m;i++)
		ans=min(ans,f[n][i]);
	printf("%d\n",ans);
	return 0;
}