关于TopK问题
TopK问题有几种方法？以及这些方案中的优化思路
问题描述：
从 arr[1,n] 这 n 个数中找出最大的 k 个数，这就是经典的TopK问题。
例子：
从 arr[1,12] = {5,3,7,1,8,2,9,4,7,2,6,6} 这n=12 个数中，找出最大的 k=5 个。
一、排序
排序是最容易想到的方法，将 n 个数排序之后，取出最大的 k 个，即为所得。
伪代码：
sort(arr, 1, n);
return arr[1, k];
时间复杂度： O(n*lg(n))
分析： 明明只需要TopK，却将全局都排序了，这也是这个方法复杂度非常高的原因。那能不能不全局排序，而只局部排序呢？这就引出了第二个优化方法。
二：局部排序
不再全局排序，只对最大的 k 个排序。
冒泡排序是一个常见的排序方法，每冒一个泡，找出最大值，冒k个泡，就得到TopK。
伪代码：
for(i=1 to k){
bubble_find_max(arr,i);
}
return arr[1, k];
时间复杂度： O(n*k)
分析： 冒泡，将全局排序优化成了局部排序，非TopK的元素是不需要排序的，节省了计算资源。不少人会想到，既然需求是TopK，那么是否这最大的 k 个元素也不需要排序呢？这就引出第三个优化方法。
三、堆
思路： 只找到TopK，而不去排序TopK。
先用前 k 个元素生成一个小顶堆，这个小顶堆用于存储，当前是最大的 k 各元素。
接着，从第 k+1 个元素开始扫描，和堆顶（堆中最小的元素）比较，如果被扫描的元素大于堆顶，则替换堆顶的元素，并调整堆，以保证堆内的 k 个元素，总是当前最大的 k 个元素。
直到扫描完所有 n-k 个元素，最终堆中的 k 个元素，就是所求的TopK。
伪代码：
heep[k] = make_heap(arr[1,k]);
for(i=k+1 to n){
adjust_heap(heap[k],arr[i]);
}
return heap[k];
时间复杂度： O(n*lg(k)) （假设运气很差的情况下，即每次都需要入堆调整）
分析： 堆，将冒泡的TopK排序优化成了TopK不排序，节省了计算资源。堆，是求TopK的经典算法，还有没有更快的？
四、随机选择
随机选择算法是《算法导论》中一个经典的算法，其时间复杂度为O(n)，是一个线性复杂度的方法。
这个方法并不是所有人都知道，为了将算法讲透，先聊一些前序知识，一个经典算法：快速排序。
其伪代码是：
void quick_sort(int []arr, int low, int high){
if(low == high)
return;
int i = partition(arr, low, high);
quick_sort(arr, low, i-1);
quick_sort(arr, i+1, high);
}
其中核心算法思想是，分治法。
分治法（Divide&Conquer），把一个大的问题，转化为若干个子问题（Divide），每个子问题“都”解决，大的问题便随之解决（Conquer）。这里的关键词是“都”。从伪代码里可以看到，快速排序递归时，先通过partition把数组分隔为两个部分，两个部分“都”要再次递归。
分治法有一个特例，叫减治法。
减治法（Reduce&Conquer），把一个大的问题，转化为若干个子问题（Reduce），这些子问题中“只”解决一个，大的问题便随之解决（Conquer）。这里的关键词是“只”。
二分查找binary_search，BS，是一个典型的运用减治法思想的算法，其伪代码是：
int BS(int []arr, int low, int high, int target){
if(low>high) return -1;
mid =low+ (high-low)/2;
if(arr[mid] == target) return mid;
if(arr[mid] > target)
return BS(arr, low, mid-1, target);
esle
return BS(arr, mid+1, high, target);
}
从伪代码可以看到，二分查找，一个大的问题，可以用一个mid元素，分成左半区，右半区两个子问题。而左右两个子问题，只需要解决其中一个，递归一次，就能够解决二分查找全局的问题。
通过分治法与减治法的描述，可以发现，分治法的复杂度一般来说是大于减治法的：
快速排序：O(n*lg(n))
二分查找：O(lg(n))
回到我们的问题，快速排序的核心是：
i = partition(arr, low, high);
partition是干嘛的？
顾名思义，partition会把整体分为两个部分。
具体一些就是会用数组arr中的一个元素（默认是第一个元素t = arr[low]）为划分依据，将数据 arr[low, high]划分成左右两个子数组：
- 左半部分，都比 t 大
- 右半部分，都比 t 小
- 中间位置 i 是划分元素
以上述TopK的数组为例，先用第一个元素 t=arr[low]为划分依据，扫描一遍数组，把数组分成了两个半区： - 左半区比 t 大
- 右半区比 t 小
- 中间是 t
partition返回的是 t 最终的位置 i 。
时间复杂度： partition的时间复杂度是O(n)。
partition和TopK问题有什么关系？
TopK是希望求出arr[1,n]中最大的k个数，那如果找到了第k大的数，做一次partition，不就一次性找到最大的k个数了么？（即partition后左半区的k个数）
那问题就变成了从 arr[1, n]中找到第k大的数。
则第一次partition，划分之后：
i = partition(arr, 1, n); - 如果i大于k，则说明arr[i]左边的元素都大于k，于是只递归arr[1, i-1]里第k大的元素即可；
- 如果i小于k，则说明说明第k大的元素在arr[i]的右边，于是只递归arr[i+1, n]里第k-i大的元素即可；
这就是随机选择算法randomized_select，RS，其伪代码如下：
int RS(arr, low, high, k){
if(low == high) return arr[low];
i = partition(arr, low, high);
temp = i-low; //数组前半部分元素个数
if(temp >= k)
return RS(arr, low, i-1, k); //求前半部分第k大
else
return RS(arr, i+1, high, k-i); //求后半部分第k-i大
}
这是一个典型的减治算法，递归内的两个分支，最终只会执行一个，它的时间复杂度是O(n)。
- 分治法，大问题分解为小问题，小问题都要递归各个分支，例如：快速排序
- 减治法，大问题分解为小问题，小问题只要递归一个分支，例如：二分查找，随机选择
通过随机选择（randomized_select），找到arr[1, n]中第k大的数，再进行一次partition，就能得到TopK的结果。
五、总结 - 全局排序，O(n*lg(n))
- 局部排序，只排序 TopK 个数，O(n*k)
- 堆，TopK 个数也不需排序，O(n*lg(k))
- 分治法，每个分支“都要”递归，例如：快速排序，O(n*lg(n))
- 减治法，“只要”递归一个分支，例如：二分法查找 O(lg(n))，随机选择 O(n)
- TopK 的另一个解法：随机选择 + partition
参考——58沈剑 架构师之路