数据结构与算法之美学习笔记(15章,17章) 二分查找,跳表

二分查找针对的是一个有序的数据集合，查找思想有点类似分治思想。每次都通过跟区间的中间元素对比，将待查找的区间缩小为之前的一半，直到找到要查找的元素，或者区间被缩小为 0。

我们假设数据大小是 n，每次查找后数据都会缩小为原来的一半，也就是会除以 2。最坏情况下，直到查找区间被缩小为空，才停止。

可以看出来，这是一个等比数列。其中 n/2k=1 时，k 的值就是总共缩小的次数。而每一次缩小操作只涉及两个数据的大小比较，所以，经过了 k 次区间缩小操作，时间复杂度就是 O(k)。通过 n/2k=1，我们可以求得 k=log2n，所以时间复杂度就是 O(logn)。

代码实现

/**
 * @author: xuxu
 * @date 2020/2/28 20:47
 * @Description： 二分查找
 */
public class BinarySearch {

    public static int binarySearch(int[] arr,int value){
        int low = 0;
        int high = arr.length-1;
        while(low<=high){
           int mid = (low+high)/2;
           if(arr[mid]==value){
               return mid;
           }else if(arr[mid]

容易出错的 3 个地方。

1. 循环退出条件

注意是 low<=high，而不是 low

2.mid 的取值

实际上，mid=(low+high)/2 这种写法是有问题的。因为如果 low 和 high 比较大的话，两者之和就有可能会溢出。改进的方法是将 mid 的计算方式写成 low+(high-low)/2。更进一步，如果要将性能优化到极致的话，我们可以将这里的除以 2 操作转化成位运算 low+((high-low)>>1)。因为相比除法运算来说，计算机处理位运算要快得多。

3.low 和 high 的更新

low=mid+1，high=mid-1。注意这里的 +1 和 -1，如果直接写成 low=mid 或者 high=mid，就可能会发生死循环。比如，当 high=3，low=3 时，如果 a[3] 不等于 value，就会导致一直循环不退出。

 

第十七章 跳表

对于一个单链表来讲，即便链表中存储的数据是有序的，如果我们要想在其中查找某个数据，也只能从头到尾遍历链表。这样查找效率就会很低，时间复杂度会很高，是 O(n)。

那怎么来提高查找效率呢？如果像图中那样，对链表建立一级“索引”，查找起来是不是就会更快一些呢？每两个结点提取一个结点到上一级，我们把抽出来的那一级叫作索引或索引层。你可以看我画的图。图中的 down 表示 down 指针，指向下一级结点。

如果我们现在要查找某个结点，比如 16。我们可以先在索引层遍历，当遍历到索引层中值为 13 的结点时，我们发现下一个结点是 17，那要查找的结点 16 肯定就在这两个结点之间。然后我们通过索引层结点的 down 指针，下降到原始链表这一层，继续遍历。这个时候，我们只需要再遍历 2 个结点，就可以找到值等于 16 的这个结点了。这样，原来如果要查找 16，需要遍历 10 个结点，现在只需要遍历 7 个结点。

从这个例子里，我们看出，加来一层索引之后，查找一个结点需要遍历的结点个数减少了，也就是说查找效率提高了。那如果我们再加一级索引呢？效率会不会提升更多呢？

跟前面建立第一级索引的方式相似，我们在第一级索引的基础之上，每两个结点就抽出一个结点到第二级索引。现在我们再来查找 16，只需要遍历 6 个结点了，需要遍历的结点数量又减少了。

我举的例子数据量不大，所以即便加了两级索引，查找效率的提升也并不明显。为了让你能真切地感受索引提升查询效率。我画了一个包含 64 个结点的链表，按照前面讲的这种思路，建立了五级索引。

从图中我们可以看出，原来没有索引的时候，查找 62 需要遍历 62 个结点，现在只需要遍历 11 个结点，速度是不是提高了很多？所以，当链表的长度 n 比较大时，比如 1000、10000 的时候，在构建索引之后，查找效率的提升就会非常明显。

前面讲的这种链表加多级索引的结构，就是跳表

 

跳表是一种动态数据结构，支持快速的插入、删除、查找操作，时间复杂度都是 O(logn)。