Python快速求组合数C(n,m)三种方法整理

百度百科对于组合数的定义是：从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合；从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数。
由于经常遇到一些组合数问题，所以整理一些常见的快速求组合数的方法，附上Python的实现代码。

一、m,n不是特别大的时候：

$$\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{m}\right)=\frac{n!}{m!\ast (n-m)!}$$
可以直接调用math.factorial求得阶乘，然后算出组合数，如下：

import math
n,m = map(int,input().split())
print(math.factorial(n)//(math.factorial(m)*math.factorial(n-m)))

输入：

5 3

输出：

10

二、用定义式递归：

$$\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{m}\right)=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n-1}{m-1}\right)+\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n-1}{m}\right)$$
递归出口就在于当n=m或者m=1的时候。

n,m = map(int,input().split())
def rec(n,m):
    if m == n:
        return 1
    elif m == 1:
        return n
    else:
        return rec(n-1,m-1)+rec(n-1,m)
    
print(rec(n,m))

输入：

10 3

输出：

120

三、逆元+快速幂思想参考大佬

前面的两种方法，在n,m数字很大的时候，运行时间会很长。在介绍第三个方法之前，先来介绍几个概念，不当之处，欢迎指点。

（1）、同余定理

百度百科：同余定理数论中的重要概念。给定一个正整数m，如果两个整数a和b满足a-b能够被m整除，即(a-b)/m得到一个整数，那么就称整数a与b对模m同余，记作a≡b(mod m)。对模m同余是整数的一个等价关系。

5 ≡ 3(mod 2) #5和 3对模2同余

（2）、模的加减乘除运算

取模运算的等价变形适合加法、减法、乘法
$(a+b)\%p=(a\%p+b\%p)\%p$
$(a-b)\%p=(a\%p-b\%p)\%p$
$(a\ast b)\%p=(a\%p\ast b\%p)\%p$

但是，取模运算的等价变形不符合除法
$a/b\%p\ne (a\%p/b\%p)\%p$

比如：
$（100\%20）\%11=5\%11=5$
$（100\%11/20\%11)\%11=(1/9)\%11=0\%11=0$

（3）、逆元

逆元：对于a和p，若a和p互素且
$$(a\ast b)\%p\equiv 1$$
则称b为a%p的逆元。

假设c为b%p的逆元，即$b\ast c\%p=1$

$(a/b)\%p$
$=(a/b)\ast 1\%p$
$=(a/b)\ast (b\ast c\%p)\%p$
$=a\ast c\%p$
$=(a\%p)\ast (c\%p)\%p$

这样就把求$(a/b)\%p$转化成一个$(a\%p)\ast (c\%p)\%p$乘法问题。

（4）、费马小定理

百度百科：费马小定理(Fermat’s little theorem)是数论中的一个重要定理，在1636年提出。如果p是一个质数，而整数a不是p的倍数，则有$a^{(p-1)}\%p\equiv 1$。

$a^{（p-1）}=a^{（p-2）}\ast a$
所以有$a^{（p-2）}\ast a\%p\equiv 1$
所以$a^{（p-2）}\%p$是$a$的逆元。

由于m,n很大，现在要求的是$\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{m}\right)\%p$，假设$p$取100000007，由于取模运算的等价变形不适用于除法，即：
$$\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{m}\right)\%p\ne \frac{n!\%p}{m!\%p\ast (n-m)!\%p}\%p$$
根据上面求得：

$$(a/b)\%p=(a\%p)\ast (c\%p)\%p$$
$c是b\%p的逆元。$
就相当于我们要求出$m!和(n-m)!$的逆元，根据$a^{（p-2）}\%p$是$a$的逆元，得到
$m!的逆元是m{!}^{(p-2)}$
$(n-m)!的逆元是(n-m){!}^{(p-2)}$
所以$$\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{m}\right)\%p=[n!\%p\ast (m{!}^{(p-2)}\%p)\ast ((n-m){!}^{(p-2)}\%p)]\%p$$
下面用代码来实现：

import math
n,m = map(int,input().split())
p = 100000007
def power(x,y):     #求x的y次方
    p = 100000007
    res = 1
    while y:
        if y % 2 != 0:
            res *= (x%p)
        y >>= 1
        x *= (x%p)
    return res
a = (math.factorial(n))%p
b = (power(math.factorial(m),(p-2)))%p
c = (power(math.factorial(n-m),(p-2)))%p
print(a*b*c%p)

中间的power函数是用快速幂做的，直接用Python的运算符“**”的话会非常大，会超时。
小白欢迎大佬指点~