概率模型中的 报童问题 matlab求解

简介

这是一个关于卖报商人采购报纸的问题. 每天早上, 卖报商以批发价元b(每份)向报社采购当天的报纸, 然后以零售价a元(每份)进行售卖. 如果报纸在当天没有卖完, 他会把报纸以c元(每份)的价格卖给废品回收站. 那么卖报商应该如何确定报纸的采购数量?

问题分析：

报童购进数量应根据需求量确定，但需求量r是随机的，所以报童每天如果购进的报纸n太少，不够买的，会少赚钱；如果购进太多，卖不完就要赔钱，这样由于每天报纸的需求量是随机的，致使报童每天的收入也是随机的，因此衡量报童的收入，不能是报童每天的收入，而应该是他长期（几个月、一年）卖报的日平均收入。从概率论的角度来看，这相当于报童每天收入的期望值，以下简称平均收入。
1.采购一个商品.
2.在一个采购周期内仅采购一次.
3.采购之时不知道准确的需求.
4.商品会过期.

记报童每天购进n分报纸时的收入是G（n），如果这天的需求量r<=n,则他售出r份，退回n-r份；如果这天的需求量大于n，则n份全部售出，考虑到需求量的概率是f（r），所以：

问题归结于当a，b，c，f（r）已知时，求n使G（n）最大。
通常需求量r和购进量n的数值都很大，将r视为连续变量便于分析和计算，这时概率f（r）转换为概率密度p（r），（1）式变为

问题假设：假设报童每天的需求量服从均值为500，标准差为50的正太分布（如图一所示），每份报纸的购进价为0.75元，售出价为1元，回收价为0.6元。求取利润最高时的购进份数n。

如图1，在r=900时概率密度已经接近0，所以假设报童每日的需求量r最大不超过1000份，及P（r<1000）=1。

模型求解

clear
clc

r = 0:1:1000;

p = normpdf(r,500,50);
g1 = @(r,n)(0.25.*r-0.15.*(n-r)).*normpdf(r,500,50);
g2 = @(r,n)0.25*n*normpdf(r,500,50);

for n = 1:1:999
    G(n) = integral(@(r)g1(r,n),0,n)+integral(@(r)g2(r,n),n+1,1000);
end
%a=integral(@(r)g1(r,n),0,n)+integral(@(r)g2(r,n),n+1,1000)
%G = integral(g1,0,500)+integral(g2,501,1000);
[p,q]=max(G)
n=1:1:999;
plot(n,G)
xlabel('购进量n')
ylabel('收入')
title('报童收入')

带入a，b，c的值后在matlab中列出（2）式分别求取进货量n从1到999时的收益状况如图2所示。
在进货量n=518时，报童的最大日受益为116.4元。