数学之对偶问题

线性规划的对偶问题

常山机器厂生产Ⅰ、Ⅱ两种产品。这两种产品都要分别在A、B、C三种不同设备上加工。按工艺资料规定，生产每件产品Ⅰ需占用各设备分别为2h、4h、0h，生产每件产品Ⅱ需占用各设备分别为2h、0h、5h，已知各设备计划期内用于生产这两种产品的能力分别是12h、16h、15h，又知每生产一件产品Ⅰ企业能获得2元利润，每生产一件产品Ⅱ企业能获得3元利润，问该企业应安排生产两种产品各多少件，使总的利润收入为最大

设备、产品	1	2	能力
A	2	2	12
B	4	0	16
C	0	5	15
利润	2	3

建立问题的线性规划,设 x1为第一类产品个数，x2为第二类产品个数

maxZ=2x1+3x2条件：⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪2x1+2x2≤124x1+0x2≤160x1+3x2≤15x1≥0,x2≥0

现在换一个思路，假如要将设备出租给别人以换取利润，那么应该如何定价呢？
设A，B，C的单价为 y1,y2,y3
那么我们的模型为：

minW=12y1+16y2+15y3条件：⎧⎩⎨⎪⎪2y1+4y2+0y3≥22y1+0y2+3y3≥3y1≥0,y2≥0,y3≥0

每一个线性规划问题，一定可以找到其对偶问题。上面两问题就是互为对偶问题，先将转换列表贴上，划重点，要考，哈哈哈哈

或者可以写成：

maxz=CXst{AX≤BX≥0

的对偶问题是：

maxz=YBst{YB≤CY≥0

推荐大家看看视频，几分钟就学会了
https://en.wikipedia.org/wiki/Duality_(optimization)
https://en.wikipedia.org/wiki/Constraint_satisfaction_dual_problem
http://my.tv.sohu.com/us/201854627/65444651.shtml

单纯形法求解

http://v.youku.com/v_show/id_XMzgyNDU1ODIw.html
主要分成四步：
1）化标准型
2）单纯形表
3）判断单纯形表，是否最优解/无解/无穷解，是否需要进行基转换。
这个太麻烦了，还是看视频吧。

对偶问题性质

from： https://wenku.baidu.com/view/3b512626af45b307e8719745.html

对称性

对偶问题的对偶是原问题

弱对偶性

（1）极大化问题（原问题）的任一可行解所对应的目标函数值是对偶问题最优目标函数值的下界。
（2）极小化问题（对偶问题）的任一可行解所对应的目标函数值是原问题最优目标函数值的上界。
（3）若原问题可行，但其目标函数值无界，则对偶问题无可行解
（4）若对偶问题可行，但其目标函数值无界，则原问题无可行解。
（5）若原问题有可行解而其对偶问题无可行解，则原问题目标函数值无界。
（6）对偶问题有可行解而其原问题无可行解，则对偶问题的目标函数值无界。

最优性定理

弱原问题和对偶问题有共同的可行解，则该解为对偶问题和原问题的最优解

强对偶性

若原问题及其对偶问题均具有可行解，则两者均具有最优解，且它们最优解的目标函数值相等。

互补松弛性

在线性规划问题的最优解中，如果对应某一约束条件的对偶变量值为非零，则该约束条件为严格等式；反之如果约束条件为严格不等式，则其对应的对偶变量一定为零。

（1）从已知的最优对偶解，求原问题最优解，反之亦然。
（2）证实原问题可行解是否为最优解。
（3）从不同假设来进行试算，从而研究原始、对偶问题最优解的一般性质。
（4）非线性的方面的应用。

互补松弛性非常重要，影子价格的意义
可以参考知乎的答案：
https://www.zhihu.com/question/27471863/answer/43397302