#David Silver Reinforcement Learning # 笔记2-MDP

这节课同样讲的一些基础概念，为之后的课程做铺垫。

马尔科夫过程（Markov Processes）

S是一个有限的状态集合
P是state之间的转移矩阵 Pss‘ = P [St+1 = s’ | St = s]
那么马尔科夫过程就是

马尔科夫奖励过程（Markov Reward Process，MRP）

马尔科夫奖励过程就是在马尔科夫过程的基础上添加了奖励机制。
同样：
S是一个有限的状态集合
P是state之间的转移矩阵
R 是一个reward function， Rs = E [Rt+1 | St = s]
γ 是一个折扣因子，取值范围 [0，1]
马尔科夫奖励过程就是

定义Return Gt：

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当前时刻开始，到达到最终状态所得到的所有奖励之和。
那么折扣因子是什么？为什么需要折扣因子？
γ 通俗点解释，表示有多在乎未来的奖励。γ 越大表示越在意未来的奖励，γ 越小，越在乎当下的收益，比如一些金融的交易，更在乎当下能有多少收益。
需要折扣因子的原因是1.避免return无限大。2.数学上表示方便。3.我们对我们的模型没有足够的信心，我们并不完全相信我们之后的决定 。

值函数（Value Function）

我们如何评价我们的模型当前的选择是否好呢？
我们可以用值函数来评估奖励，通过奖励来评估选择的好坏，人们最终需要达到的是奖励最大的过程。从当前状态出发，有一个转移概率转移到下一个状态，那么哪条路比较好呢？用哪一条路来作为在当前状态到最终状态的奖励呢？答案是都不行。我们需要用一个定量来评估，而这个定量就是平均值，所有可能的路径之和，也就是期望 来作为评分函数。所以：

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假如路径已经确定，那么不必考虑概率的问题，直接用Reward和折扣因子计算Return 就可以。

Bellman 方程

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就是一个动态规划的问题，将元问题解释为子问题一步一步的迭代。
有了Bellman方程，值函数就可以用矩阵的形式进行计算。
v = R + γPv

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加入方程很小的化，可以直接求出来v。v = Inverse(I − γP)R

马尔科夫决策过程（Markov Decision Process，MDP）

同理，马尔科夫决策过程是在马尔科夫奖励过程的基础上添加了action集
马尔科夫决策过程是

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有了action，就有了策略policy。policy是状态s下action的分布。

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其实action和state一样都可以看作是一个状态，policy π 就是一个状态转移矩阵
但是因为action被赋予了不同的物理意义，所以在通常状态下action和state是明显的两个概念。

值函数

那么有了新的规约，值函数的意义也发生变化，

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表示从状态s开始，遵循π的情况下的值函数。
同样增加了action-value fnction。

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同理，两者的 bellman 方程：

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矩阵形式：

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最后，有了状态值函数和动作值函数，那么最优的值函数就是分数最大的那个
最优的状态值函数就是 在所有的policy中 值最大的那个。
最优的动作值函数就是在所有的policy中值最大的那个。
知道了最优的值函数之后，MDP的问题就解决了。