亚像素数值极值检测算法总结

动机

在计算机视觉领域，经常需要检测极值位置，比如SIFT关键点检测、模板匹配获得最大响应位置、统计直方图峰值位置、边缘检测等等，有时只需要像素精度就可以，有时则需要亚像素精度。本文尝试总结几种常用的一维离散数据极值检测方法，几个算法主要来自论文《A Comparison of Algorithms for Subpixel Peak Detection》，加上自己的理解和推导。

问题定义

给定如下离散值，求其极值位置。可知125为观察极值。

$$[60,80,100,120,125,105,70,55]$$

如果这些离散值是从某个分布$f$中等间距采样获得，其真正的极值位置应位于120和125之间。

下面给出形式化的定义：给定一组离散值，令$x$为观测到的极值点位置，其值为$f(x)$，其左右相邻位置的值为$f(x-1)$和$f(x+1)$，真正的极值点位置为$x+\delta$，令$\hat{\delta }$为$\delta$的估计值。

算法

假设**$x$的邻域**可通过某个模型进行近似，如高斯近似、抛物线近似，则可以利用$x$的邻域信息根据模型估计出极值。使用的模型不同就有不同的算法，具体如下。

高斯近似

一维高斯函数如下：

$$y=y_{max}\cdot exp(-\frac{(x-\mu {)}^2}{2{\sigma }^2})$$
当$y_{max}=\frac{1}{\sqrt{2\sigma }\pi }$时为标准高斯函数，形如

假设$x$的邻域可用高斯近似，用$(x,f(x))$、$(x-1,f(x-1))$、$(x+1,f(x+1))$三点对高斯函数进行拟合，获得模型参数$\mu$即为峰值位置，$\hat{\delta }=\mu -x$。将三点带入上面的高斯函数两边同时取对数求得：

$$\hat{\delta }=\frac{1}{2}\frac{\ln (f(x-1))-\ln (f(x+1))}{\ln (f(x-1))-2\ln (f(x))+\ln (f(x+1))}$$

下面可以看到，高斯近似相当于取对数后的抛物线近似。

抛物线近似

使用抛物线近似$x$的局部，可以将$(x,f(x))$、$(x-1,f(x-1))$、$(x+1,f(x+1))$三点带入$y=a(x-b{)}^2+c$求参数$b$即为估计的极值位置，也可采用泰勒展开（牛顿法）来求极值。泰勒公式实际上是一种利用高阶导数通过多项式近似函数的方法，下面的图示可直观理解这种近似，图示为通过泰勒公式近似原点附近的正弦曲线：

泰勒近似$x$附近，如只取到二阶则为抛物线近似。假设高阶可导，极值为$f(x+\delta )$，则根据泰勒公式，

$$f(x+\delta )=f(x)+f^{\prime }(x)\delta +\frac{1}{2}{f}^{\prime \prime }(x){\delta }^2+O({\delta }^3)$$

极值处导数为0，这里$x$为常数$\delta$为变量，两边同时对$\delta$求导，忽略高阶项可得

$$f^{\prime }(x+\hat{\delta })=f^{\prime }(x)+f^{\prime \prime }(x)\hat{\delta }=0$$

使用一阶微分和二阶微分近似$f^{\prime }(x)$和$f^{\prime \prime }(x)$得

$$\hat{\delta }=-\frac{f^{\prime }(x)}{f^{\prime \prime }(x)}=-\frac{(f(x+1)-f(x-1))/2}{(f(x+1)-f(x))-(f(x)-f(x-1))}=\frac{1}{2}\frac{f(x-1)-f(x+1)}{f(x+1)-2f(x)+f(x-1)}$$
与带入抛物线求参数的结果是一致的，加上对数则与高斯近似一致。

质心算法

In physics, the center of mass of a distribution of mass in space is the unique point where the weighted relative position of the distributed mass sums to zero, or the point where if a force is applied it moves in the direction of the force without rotating.——Center of mass wiki

若将$x$、$x-1$、$x+1$看成质点，将$f(x)$、$f(x-1)$、$f(x+1)$看成质点的质量，则可以把质心作为极值的估计。根据质点相对质心位置的质量加权和为零，可求得质心位置。令$R$为质心坐标，$m$和$r$分别为质点质量和坐标，则$n$个质点的质心满足

$$\sum _{i=1}^n{m}_i(r_i-R)=0$$

令$M={\sum }_{i=1}^n{m}_i$，质心坐标为

$$R=\frac{1}{M}\sum _{i=1}^n{m}_i{r}_i$$

带入得

$$x+\hat{\delta }=\frac{(x-1)f(x-1)+xf(x)+(x+1)f(x+1)}{f(x-1)+f(x)+f(x+1)}$$

$$\hat{\delta }=\frac{f(x+1)-f(x-1)}{f(x-1)+f(x)+f(x+1)}$$

以上考虑的是3质点系统的质心，还可考虑5质点、7质点等，甚至考虑所有点。

线性插值

这个模型假设在极值两侧是线性增长和线性下降的，且上升和下降的速度相同，即$y=kx+b$，上升侧$k>0$，下降侧$k<0$，两者绝对值相同，可以利用这个性质求解极值位置。

若$f(x+1)>f(x-1)$则极值位于$(x,x+1)$之间，可列等式

$$\frac{f(x)-f(x-1)}{x-(x-1)}=\frac{f(x+\delta )-f(x)}{x+\delta -x}=\frac{f(x+\delta )-f(x+1)}{x+1-(x+\delta )}$$

解得

$$\hat{\delta }=\frac{1}{2}\frac{f(x+1)-f(x-1)}{f(x)-f(x-1)}$$

同理，若$f(x-1)>f(x+1)$求得

$$\hat{\delta }=\frac{1}{2}\frac{f(x+1)-f(x-1)}{f(x)-f(x+1)}$$

数值微分滤波

这个方法是利用极值处导数为0的性质，在微分滤波结果上插值得到导数为0的位置，因已知极值点在$x$附近，因此只需在$x$附近做微分和插值即可。插值时取极值点两侧正负值连线的过零点作为极值点的估计，如下图所示

论文Real-time numerical peak detector中定义了4阶和8阶线性滤波器$[1,1,0,-1,-1]$和$[1,1,1,1,0,-1,-1,-1,-1]$，对应的函数形式为

$$g_4(x)=f(x-2)+f(x-1)-f(x+1)-f(x+2)$$

$$\begin{gathered} g_8(x)=f(x-4)+f(x-3)+f(x-2)+f(x-1) \\ -f(x+1)-f(x+2)-f(x+3)-f(x+4) \end{gathered}$$

2阶形式为$g_2(x)=f(x-1)-f(x+1)$，这些滤波器的表现与数值微分滤波器相似。

当$f(x+1)>f(x-1)$时，极值点位于$(x,x+1)$之间，$g(x)<0$，$g(x+1)>0$，极值点位置为$g(x)$与$g(x+1)$连线的过零点，通过斜率求得

$$\hat{\delta }=\frac{g(x)}{g(x+1)-g(x)}$$

若$f(x-1)>f(x+1)$，则

$$\hat{\delta }=\frac{g(x-1)}{g(x-1)-g(x)}-1$$

总结

**这些数值极值检测方法均是先获取观测极值$x$及其邻域信息，然后综合邻域信息在各自的模型假设下通过插值估计出极值位置。**若能知道数值来自的真实分布，则直接拟合真实分布然后求极值即可，但往往我们并不知道真实的分布是什么，即使知道真实分布，有时为了快速计算，也会采取插值的方式来估计极值，毕竟偏差可接受效果足够好就可以了。应用时，为了抗噪可对数据先平滑然后求极值，具体采用何种方法可在准确和速度间权衡——所用模型与真实分布越相近自然越准确，如果实在不知道怎么选，就实践对比吧（因为我也不知道），毕竟伟大领袖教导过我们——实践是检验真理的唯一标准！

参考

• A Comparison of Algorithms for Subpixel Peak Detection
• Real-time numerical peak detector

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