「SCOI 2019 D1T1」跳跃游戏

传送门

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problem

有 $m$ 个小球，$n$ 个岛。其中第一个、最后一个岛以及中间的第 $k$ 个岛 $(1<k<n)$ 是固定的，其余岛是悬浮的。一开始所有小球都在第一个岛，你的目标是把他们都移动到最后一个岛，并且使用的步数尽量小。

每回合你可以移动一个小球到它左边或者右边的那个平台，但是有一些限制：

1. 移动的小球必须是移动前它所在的平台上编号最小的；
2. 移动的小球必须是移动后它所在的平台上编号最小的；
3. 如果一个小球移动到了一个浮动平台上，那下一回合必须将这个小球移走，否则它就会掉下去。

有 $q$ 个询问，每次给出一个时刻，你需要回答在最优方案中，这个时刻正在跳跃的是哪个小红球。

保证询问给出的时刻小于等于最优方案数，且保证答案小于等于 $30$。

数据范围：$n\le 10^8$，$m\le 1000$，$q\le 5000$。

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solution

这应该就是汉诺塔问题的变种。

如果有 $i$ 个点，那么最优方案为 $f_i=3f_{i-1}+(n-1)$。而 $m\le 1000$，貌似直接高精是不行的。

考虑打个表找规律（或者自己手推），如下：

(n-1) 个 1
(k-1) 个 2
(n-1) 个 1
(n-k) 个 2
(n-1) 个 1
(k-1) 个 3
(n-1) 个 1
(n-k) 个 2
(n-1) 个 1
(k-1) 个 2
(n-1) 个 1
(n-k) 个 3
...

如果再打多点，会发现：

• 对于个数，发现是 $(n-1)$，$(k-1)$，$(n-1)$，$(n-k)$ 的循环。
• 对于数字，发现：
  答案为 $1$ 的时候是奇数行；
  答案为 $2$ 的时候是行为 $2$ 的倍数且不为 $6$ 的倍数；
  答案为 $3$ 的时候是行为 $6$ 的倍数且不为 $18$ 的倍数；
  答案为 $4$ 的时候是行为 $18$ 的倍数且不为 $54$ 的倍数；
  答案为 $5$ 的时候是行为 $54$ 的倍数且不为 $162$ 的倍数；
  $\cdots \cdots$

由于 $2\times 3^{30}$ 大约是 $10^{14}$ 左右，是在 long long 范围的，可以预处理一下。

然后就可以用高精做了，时间复杂度 $O(q\times len\times 30)$。

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code

#include
#define ll long long
using namespace std;
int n,m,k,q;
struct Bignum{
	int n,num[505];
	Bignum()  {n=0,memset(num,0,sizeof(num));}
	friend Bignum operator+(const Bignum &A,const Bignum &B){
		Bignum C;C.n=max(A.n,B.n);
		for(int i=1;i<=C.n;++i){
			C.num[i]+=A.num[i]+B.num[i];
			if(C.num[i]>9)  C.num[i]-=10,C.num[i+1]++;
		}
		if(C.num[C.n+1])  C.n++;
		return C;
	}
	friend Bignum operator/(const Bignum &A,ll b){
		ll ans=0;Bignum C;C.n=A.n;
		for(int i=C.n;i;--i){
			ans=ans*10+A.num[i];
			if(ans>=b)  C.num[i]=ans/b,ans=ans-(ans/b)*b;
		}
		while(C.n&&!C.num[C.n])  C.n--;
		return C;
	}
	friend ll operator%(const Bignum &A,ll b){
		ll ans=0;
		for(int i=A.n;i;--i){
			ans=ans*10+A.num[i];
			if(ans>=b)  ans=ans-(ans/b)*b;
		}
		return ans;
	}
	void Read(){
		char c=getchar();n=0;
		while(!isdigit(c))  c=getchar();
		while( isdigit(c))  num[++n]=c^48,c=getchar();
		reverse(num+1,num+n+1);
	}
}One,p;
ll Mod,f[35];
void init(){
	f[1]=1,f[2]=2;
	for(int i=3;i<=31;++i)  f[i]=3ll*f[i-1];
	One.n=1,One.num[1]=1;
}
void adjust(){
	if(Mod>0)  p=p+One;
	if(Mod>n-1)  p=p+One;
	if(Mod>n-1+k-1)  p=p+One;
	if(Mod>n-1+k-1+n-1)  p=p+One;
}
int main(){
	init();
	scanf("%d%d%d%d",&n,&m,&k,&q);
	int tmp=3*n-3; //(n-1)+(k-1)+(n-1)+(n-k)
	while(q--){
		p.Read(),Mod=p%tmp;
		p=p/tmp,p=p+p,p=p+p;
		adjust();
		for(int i=1;i<=30;++i)
			if(p%f[i]==0&&p%f[i+1]!=0)  {printf("%d\n",i);break;}
	}
	return 0;
}