Python机器学习（六十二）SciPy 优化

优化是指在某些约束条件下，求解目标函数最优解的过程。机器学习、人工智能中的绝大部分问题都会涉及到求解优化问题。

SciPy的optimize模块提供了许多常用的数值优化算法，一些经典的优化算法包括线性回归、函数极值和根的求解以及确定两函数交点的坐标等。

导入scipy.optimize模块，如下所示：

from scipy import optimize

标量函数极值求解

fmin_bfgs方法

函数f(x)是一个抛物线，求它的极小值：

 

 

import numpy as np
from scipy import optimize
import matplotlib.pyplot as plt

# 定义函数
def f(x):
  return x**2 + 2*x + 9

# x取值：-10到10之间，间隔0.1
x = np.arange(-10, 10, 0.1)

# 画出函数曲线
plt.plot(x, f(x))
# plt.savefig('./opt2-1.png') # 保存要显示的图片
plt.show()

计算该函数最小值的有效方法之一是使用带起点的BFGS算法。该算法从参数给定的起始点计算函数的梯度下降，并输出梯度为零、二阶导数为正的极小值。BFGS算法是由Broyden，Fletcher，Goldfarb，Shanno四个人分别提出的，故称为BFGS校正。

示例

使用BFGS函数，找出抛物线函数的最小值:

import numpy as np
from scipy import optimize
import matplotlib.pyplot as plt

# 定义函数
def f(x):
  return x**2 + 2*x + 9

# x取值：-10到10之间，间隔0.1
x = np.arange(-10, 10, 0.1)

# 画出函数曲线
plt.plot(x, f(x))

# 第一个参数是函数名，第二个参数是梯度下降的起点。返回值是函数最小值的x值(ndarray数组)
xopt = optimize.fmin_bfgs(f, 0)

xmin = xopt[0] # x值
ymin = f(xmin) # y值，即函数最小值
print('xmin: ', xmin)
print('ymin: ', ymin)

# 画出最小值的点, s=20设置点的大小，c='r'设置点的颜色
plt.scatter(xmin, ymin, s=20, c='r')

#plt.savefig('./opt3-1.png') # 保存要显示的图片
plt.show()

输出

Optimization terminated successfully.
         Current function value: 8.000000
         Iterations: 2
         Function evaluations: 9
         Gradient evaluations: 3
xmin:  -1.00000000944232
ymin:  8.0

fmin_bfgs有个问题，当函数有局部最小值，该算法会因起始点不同，找到这些局部最小而不是全局最小。

让我们看另一个函数，该函数有多个局部最小值：

g(x) = x^2 + 20sin(x)g(x)=x2+20sin(x)

画出该函数的曲线：

import numpy as np
from scipy import optimize
import matplotlib.pyplot as plt

# 定义函数
def g(x):
  return x**2 + 20*np.sin(x)

# x取值：-10到10之间，间隔0.1
x = np.arange(-10, 10, 0.1)

# 画出函数曲线
plt.plot(x, g(x))
# plt.savefig('./opt4-1.png') # 保存要显示的图片
plt.show()

函数曲线

可以看到，该函数有多个底部。如果初始值设置不当，获得的最小值有可能只是局部最小值。

import numpy as np
from scipy import optimize
import matplotlib.pyplot as plt

# 定义函数
def g(x):
  return x**2 + 20*np.sin(x)

# x取值：-10到10之间，间隔0.1
x = np.arange(-10, 10, 0.1)

# 画出函数曲线
plt.plot(x, g(x))

# 第一个参数是函数名，第二个参数是梯度下降的起点。返回值是函数最小值的x值(ndarray数组)
# 可以看到5.0附近有个局部最小，把初始值设置为7, 返回的应该是这个局部最小值。
xopt = optimize.fmin_bfgs(g, 7)

xmin = xopt[0] # x值
ymin = g(xmin) # y值，即函数最小值
print('xmin: ', xmin)
print('ymin: ', ymin)

# 画出最小值的点, s=20设置点的大小，c='r'设置点的颜色
plt.scatter(xmin, ymin, s=20, c='r')

#plt.savefig('./opt5-1.png') # 保存要显示的图片
plt.show()

输出

Optimization terminated successfully.
         Current function value: 0.158258
         Iterations: 3
         Function evaluations: 27
         Gradient evaluations: 9
xmin:  4.271095444673479
ymin:  0.15825752683190686

可以看到5.0附近有个局部最小，把初始值设置为7, 返回的是这个局部最小值。

如果把初始值设置为0，应该就能返回真正的全局最小值：

basinhopping 方法

对于这种情况，可以使用scipy.optimize提供的basinhopping()方法。该方法把局部优化方法与起始点随机抽样相结合，求出全局最小值，代价是耗费更多计算资源。

调用语法

optimize.basinhopping(func, x0)

• func 目标函数
• x0 初始值

示例

import numpy as np
from scipy import optimize

# 定义函数
def g(x):
  return x**2 + 20*np.sin(x)

# 求取最小值，初始值为7
ret = optimize.basinhopping(g, 7)

print(ret)

输出

                        fun: 0.15825752683178962
 lowest_optimization_result:       fun: 0.15825752683178962
 hess_inv: array([[0.04975718]])
      jac: array([4.76837158e-07])
  message: 'Optimization terminated successfully.'
     nfev: 12
      nit: 2
     njev: 4
   status: 0
  success: True
        x: array([4.27109533])
                    message: ['requested number of basinhopping iterations completed successfully']
      minimization_failures: 0
                       nfev: 1641
                        nit: 100
                       njev: 547
                          x: array([4.27109533])

可以看到全局最小值被正确找出：fun: 0.15825752683178962，x: array([4.27109533])

scipy.optimize.brute函数蛮力法也可用于全局优化，但效率较低。蛮力方法的语法为:

scipy.optimize.brute(f, 0) 

复制

fminbound

要求取一定范围之内的函数最小值，可使用fminbound方法。

调用语法

optimize.fminbound(func, x1, x2)

• func 目标函数
• x1, x2 范围边界

示例

import numpy as np
from scipy import optimize

# 定义函数
def g(x):
  return x**2 + 20*np.sin(x)

# 求取-10到-5之间的函数最小值。full_output=True表示返回详细信息。
ret = optimize.fminbound(g, -10, -5, full_output=True)

print(ret)

输出

(-7.068891380019064, 35.82273589215206, 0, 12)

函数最小值是：35.82273589215206，对应的x值：-7.068891380019064。

函数求解

对于一个函数f(x)，当f(x) = 0，求取x的值，即为函数求解。这种情况，可以使用fsolve()函数。

调用语法

optimize.fsolve(func， x0)

• func 目标函数
• x0 初始值

解单个方程

示例

解单个方程:

import numpy as np
from scipy import optimize

# 定义函数
def g(x):
  return x**2 + 20*np.sin(x)

# 函数求解
ret = optimize.fsolve(g, 2)

print(ret)

输出

[0.]

解出的根值是：0

解方程组

如果要对如下方程组求解：

 

 func可以定义为：

def func(x):
    u1,u2,u3 = x
    return [f1(u1,u2,u3), f2(u1,u2,u3), f3(u1,u2,u3)]

示例

解方程组：

 

 

from scipy.optimize import fsolve
from math import sin,cos

def f(x):
    x0 = float(x[0])
    x1 = float(x[1])
    x2 = float(x[2])
    return [
        4*x1 + 9,
        3*x0*x0 - sin(x1*x2),
        x1*x2 - 2.5
    ]
result = fsolve(f, [1,1,1])
print (result)

输出

[-0.44664383 -2.25       -1.11111111]

拟合

curve_fit

假设有一批数据样本，要创建这些样本数据的拟合曲线/函数，可以使用Scipy.optimize模块的curve_fit()函数。

调用形式

optimize.curve_fit(func, x1, y1)

• func 目标函数
• x1, y1 样本数据

我们将使用下面的函数来演示曲线拟合：

 

 示例

import numpy as np
from scipy import optimize
import matplotlib.pyplot as plt

# 函数模型用于生成数据
def g(x, a, b):
   return a*np.cos(x) + b

# 产生含噪声的样本数据
x_data = np.linspace(-5, 5, 100) # 采样点
y_data = g(x_data, 50, 2) + 5*np.random.randn(x_data.size) # 加入随机数作为噪声

# 使用curve_fit()函数来估计a和b的值
variables, variables_covariance = optimize.curve_fit(g, x_data, y_data)

# 输出结果
print('\n求出的系数a, b: ')
print(variables)

print('\nvariables_covariance: ')
print(variables_covariance)

输出

求出的系数a, b:
[49.66367999  2.09557981]

variables_covariance:
[[0.55593391 0.10388677]
 [0.10388677 0.26071478]]

variables是给定模型的最优参数，variables_covariance可用于检查拟合情况，其对角线元素值表示每个参数的方差。可以看到我们正确求出了系数值。

绘制曲线：

import matplotlib.pyplot as plt

y = g(x_data, variables[0], variables[1])

plt.plot(x_data, y_data, 'o', color="green", label = "Samples")
plt.plot(x_data, y, color="red", label = "Fit")
plt.legend(loc = "best")

#plt.savefig('./opt10-1.png') # 保存要显示的图片
plt.show()

生成

leastsq()函数

最小二乘法是非常经典的数值优化算法，通过最小化误差的平方和来寻找最符合数据的曲线。

optimize模块提供了实现最小二乘拟合算法的函数leastsq()，leastsq是least square的简写，即最小二乘法。

调用形式

optimize.leastsq(func, x0, args=())

• func 计算误差的函数
• x0 是计算的初始参数值
• args 是指定func的其他参数

示例

import numpy as np
from scipy import optimize    

# 样本数据
X = np.array([160,165,158,172,159,176,160,162,171]
Y = np.array([58,63,57,65,62,66,58,59,62])

# 偏差函数, 计算以p为参数的直线和原始数据之间的误差
def residuals(p):
        k, b = p
        return Y-(k*X+b)

# leastsq()使得residuals()的输出数组的平方和最小，参数的初始值为[1, 0]
ret = optimize.leastsq(residuals, [1, 10])
k, b = ret[0]
print("k = ", k, "b = ", b)

输出

k = 0.4211697393502931 b = -8.288302606523974

绘制曲线：

import matplotlib.pyplot as plt

#画样本点
plt.figure(figsize=(8, 6)) ##指定图像比例： 8：6
plt.scatter(X, Y, color="green", label="Samples", linewidth=2)

#画拟合直线
x = np.linspace(150, 190, 100) ##在150-190直接画100个连续点
y = k*x + b ##函数式
plt.plot(x,y,color="red", label="Fit",linewidth=2)
plt.legend() #绘制图例
plt.savefig('./opt11-1.png') # 保存要显示的图片
plt.show()

输出