Given a m x n grid filled with non-negative numbers, find a path from top left to bottom right which minimizes the sum of all numbers along its path.

Note: You can only move either down or right at any point in time.

假定gird用于保存m*n数字，

dp[i][j]表示到第i行第j列的最小路径和，则每次往右或者往下走，则得到递推公式

dp[i][j]=min(dp[i-1][j],dp[i][j-1])+grid[i][j]


初始值：

i=0，j=0  dp[i][j]=grid[i][j];

i=0,j>0  此时只能从左往右走，则dp[i][j]=dp[i][j-1]+grid[i][j];

i>0,j=0  此时只能从上往下走，则dp[i][j]=dp[i-1][j]+grid[i][j];


int minPathSum(vector>& grid) {

        int m=grid.size();

        if(m==0)

            return -1;

        int n=grid[0].size();

        

        vector > dp(m,vector(n));

        

        for(int i=0;i

            for(int j=0;j

                if(i==0){

                    if(j==0){

                        dp[i][j]=grid[i][j];

                    }

                    else{

                        dp[i][j]=dp[i][j-1]+grid[i][j];

                    }

                }

                else{

                    if(j==0){

                        dp[i][j]=dp[i-1][j]+grid[i][j];

                    }

                    else{

                        dp[i][j]=min(dp[i-1][j],dp[i][j-1])+grid[i][j];

                    }

                }

            }

        }

        return dp[m-1][n-1];

    }


优化空间

用一维数组代替二维数组，

由dp[i][j]=min(dp[i-1][j],dp[i][j-1])+grid[i][j] 知

dp[i][j]和dp[i-1][j],dp[i][j-1],grid[i][j]有关，这时如果计算顺序是正向，下标从小开始，

则在第i次循环，计算dp[j] 时，dp[i-1][j]可以看作是dp[j]的旧值，即第i-1次循环时的值，此时已经计算完成，dp[i][j-1]可以看作dp[j-1]

则可以更新为

dp[j]=min(dp[j-1],dp[j])+grid[i][j]


在代码中直接把dp[i][j] ==>dp[j]  dp[i-1][j]==>dp[j]

  vector dp(n);

        

        for(int i=0;i

            for(int j=0;j

                if(i==0){

                    if(j==0){

                        dp[j]=grid[i][j];

                    }

                    else{

                        dp[j]=dp[j-1]+grid[i][j];

                    }

                }

                else{

                    if(j==0){

                        dp[j]=dp[j]+grid[i][j];

                    }

                    else{

                        dp[j]=min(dp[j],dp[j-1])+grid[i][j];

                    }

                }

            }

        }

        

        return dp[n-1];