极客时间-数据结构与算法之美笔记-15二分查找（上）：如何用最省内存的方式实现快速查找功能？

今天我们讲一种针对有序数据集合的查找算法：二分查找（ Binary Search ）算法，也叫折半查找算法。二分查找的思想非常简单，但是看似越简单的东西往往越难掌握好，想要灵活应用就更加困难。

老规矩，我们还是来看一道思考题。

假设我们有1000万个整数数据，每个数据占8个字节，如何设计数据结构和算法，快速判断某个整数是否出现在这1000万数据中？ 我们希望这个功能不要占用太多的内存空间，最多不要超过 100MB ，你会怎么做呢？带着这个问题，让我们进入今天的内容吧！

一、无处不在的二分思想

二分查找是一种非常简单易懂的快速查找算法，生活中到处可见。比如说，我们现在来做一个猜字游戏。我随机写一个 0 到 99 之间的数字，然后你来猜我写的是什么。猜的过程中，你每猜一次，我就会告诉你猜的大了还是小了，直到猜中为止。你来想想，如何快速猜中我写的数字呢？

假设我写的数字是 23 ，你可以按照下面的步骤来试一试。（如果猜测范围的数字有偶数个，中间数有两个，就选择较小的那个。）

7 次就猜出来了，是不是很快？这个例子用的就是二分思想，按照这个思想，即便我让你猜的是 0 到 999 的数字，最多也只要 10 次就能猜中。不信的话，你可以试一试。

这是一个生活中的例子，我们现在回到实际的开发场景中。假设有 1000 条订单数据，已经按照订单金额从小到大排序，每个订单金额都不同，并且最小单位是元。我们现在想知道是否存在金额等于 19 元的订单。如果存在，则返回订单数据，如果不存在则返回 null 。

最简单的办法当然是从第一个订单开始，一个一个遍历这 1000 个订单，直到找到金额等于 19 元的订单为止。但这样查找会比较慢，最坏情况下，可能要遍历完这 1000 条记录才能找到。那用二分查找能不能更快速地解决呢？

为了方便讲解，我们假设只有 10 个订单，订单金额分别是： 8 ， 11 ， 19 ， 23 ， 27 ， 33 ， 45 ， 55 ， 67 ， 98 。

还是利用二分思想，每次都与区间的中间数据比对大小，缩小查找区间的范围。为了更加直观，我画了一张查找过程的图。其中， low 和 high 表示待查找区间的下标， mid 表示待查找区间的中间元素下标。

看懂这两个例子，你现在对二分的思想应该掌握得妥妥的了。我这里稍微总结一下，二分查找针对的是一个有序的数据集合，查找思想有点类似分治思想。

每次都通过跟区间的中间元素对比，将待查找的区间缩小为之前的一半，直到找到要查找的元素，或者区间被缩小为0。

二、O(logn) 惊人的查找速度

二分查找是一种非常高效的查找算法，高效到什么程度呢？我们来分析一下它的时间复杂度。

我们假设数据大小是 n，每次查找后数据都会缩小为原来的一半，也就是会除以 2 。最坏情况下，直到查找区间被缩小为空，才停止。

可以看出来，这是一个等比数列。其中n/2^k =1时，k的值就是总共缩小的次数。而每一次缩小操作只涉及两个数据的大小比较，所以，经过了k次区间缩小操作，时间复杂度就是O(k)。通过n/2^k =1，我们可以求得k=log 2 n，所以时间复杂度就是O(logn)。

二分查找是我们目前为止遇到的第一个时间复杂度为 O(logn) 的算法。后面章节我们还会讲堆、二叉树的操作等等，它们的时间复杂度也是 O(logn) 。我这里就再深入地讲讲O(logn)这种对数时间复杂度。这是一种极其高效的时间复杂度，有的时候甚至比时间复杂度是常量级O(1)的算法还要高效。为什么这么说呢？

因为 logn 是一个非常 “ 恐怖 ” 的数量级，即便 n 非常非常大，对应的 logn 也很小。比如 n 等于 2 的 32 次方，这个数很大了吧？大约是 42 亿。也就是说，如果我们在 42 亿个数据中用二分查找一个数据，最多需要比较 32 次。

我们前面讲过，用大 O 标记法表示时间复杂度的时候，会省略掉常数、系数和低阶。对于常量级时间复杂度的算法来说， O(1) 有可能表示的是一个非常大的常量值，比如 O(1000) 、 O(10000) 。所以，常量级时间复杂度的算法有时候可能还没有 O(logn) 的算法执行效率高。

反过来，对数对应的就是指数。有一个非常著名的 “ 阿基米德与国王下棋的故事 ” ，你可以自行搜索一下，感受一下指数的 “ 恐怖 ” 。这也是为什么我们说，指数时间复杂度的算法在大规模数据面前是无效的。

三、二分查找的递归与非递归实现

实际上，简单的二分查找并不难写，注意我这里的 “ 简单 ” 二字。下一节，我们会讲到二分查找的变体问题，那才是真正烧脑的。今天，我们来看如何来写最简单的二分查找。

最简单的情况就是有序数组中不存在重复元素，我们在其中用二分查找值等于给定值的数据。我用Java代码实现了一个最简单的二分查找算法。

// 二分查找的非递归实现
public int bsearch(int[] a, int n, int value) {
    int low = 0;
    int high = n - 1;
    while (low <= high) {
        int mid = (low + high) / 2;
        if (a[mid] == value) {
        	return mid;
        } else if (a[mid] < value) {
        	low = mid + 1;
        } else {
        	high = mid - 1;
        }
    }
    return -1;
}

low 、 high 、 mid 都是指数组下标，其中 low 和 high 表示当前查找的区间范围，初始 low=0 ， high=n-1 。 mid 表示 [low, high] 的中间位置。我们通过对比 a[mid] 与 value 的大小，来更新接下来要查找的区间范围，直到找到或者区间缩小为 0 ，就退出。如果你有一些编程基础，看懂这些应该不成问题。现在，我就着重强调一下容易出错的3个地方。

1.循环退出条件

注意是 low<=high ，而不是 low

2.mid 的取值

实际上， mid=(low+high)/2 这种写法是有问题的。因为如果 low 和 high 比较大的话，两者之和就有可能会溢出。改进的方法是将 mid 的计算方式写成 low+(high-low)/2 。更进一步，如果要将性能优化到极致的话，我们可以将除以 2 操作转化成位运算 low+((high-low)>>1) 。因为相比除法运算来说，计算机处理位运算要快得多。

3.low 和 high 的更新

low=mid+1 ， high=mid-1 。注意这里的 +1 和 -1 ，**如果直接写成 low=mid 或者 high=mid ，就可能会发生死循环。**比如，当 high=3 ，low=3 时，如果 a[3] 不等于 value ，就会导致一直循环不退出。

如果你留意我刚讲的这三点，我想一个简单的二分查找你已经可以实现了。实际上，二分查找除了用循环来实现，还可以用递归来实现，过程也非常简单。

我用 Java 语言实现了一下这个过程，正好你可以借此机会回顾一下写递归代码的技巧。

// 二分查找的递归实现
public int bsearch(int[] a, int n, int val) {
	return bsearchInternally(a, 0, n - 1, val);
}
private int bsearchInternally(int[] a, int low, int high, int value) {
    if (low > high) return -1;
    int mid = low + ((high - low) >> 1);
    if (a[mid] == value) {
    	return mid;
    } else if (a[mid] < value) {
    	return bsearchInternally(a, mid+1, high, value);
    } else {
    	return bsearchInternally(a, low, mid-1, value);
    }
}

四、二分查找应用场景的局限性

前面我们分析过，二分查找的时间复杂度是 O(logn) ，查找数据的效率非常高。不过，并不是什么情况下都可以用二分查找，它的应用场景是有很大局限性的。那什么情况下适合用二分查找，什么情况下不适合呢？

首先，二分查找依赖的是顺序表结构，简单点说就是数组。

那二分查找能否依赖其他数据结构呢？比如链表。答案是不可以的，主要原因是二分查找算法需要按照下标随机访问元素。我们在数组和链表那两节讲过，数组按照下标随机访问数据的时间复杂度是 O(1) ，而链表随机访问的时间复杂度是 O(n) 。所以，如果数据使用链表存储，二分查找的时间复杂就会变得很高。

二分查找只能用在数据是通过顺序表来存储的数据结构上。如果你的数据是通过其他数据结构存储的，则无法应用二分查找。

其次，二分查找针对的是有序数据。

二分查找对这一点的要求比较苛刻，数据必须是有序的。如果数据没有序，我们需要先排序。前面章节里我们讲到，排序的时间复杂度最低是 O(nlogn) 。所以，如果我们针对的是一组静态的数据，没有频繁地插入、删除，我们可以进行一次排序，多次二分查找。这样排序的成本可被均摊，二分查找的边际成本就会比较低。

但是，如果我们的数据集合有频繁的插入和删除操作，要想用二分查找，要么每次插入、删除操作之后保证数据仍然有序，要么在每次二分查找之前都先进行排序。针对这种动态数据集合，无论哪种方法，维护有序的成本都是很高的。

所以，二分查找只能用在插入、删除操作不频繁，一次排序多次查找的场景中。针对动态变化的数据集合，二分查找将不再适用。那针对动态数据集合，如何在其中快速查找某个数据呢？别急，等到二叉树那一节我会详细讲。

再次，数据量太小不适合二分查找。

如果要处理的数据量很小，完全没有必要用二分查找，顺序遍历就足够了。比如我们在一个大小为 10 的数组中查找一个元素，不管用二分查找还是顺序遍历，查找速度都差不多。只有数据量比较大的时候，二分查找的优势才会比较明显。

不过，这里有一个例外。如果数据之间的比较操作非常耗时，不管数据量大小，我都推荐使用二分查找。比如，数组中存储的都是长度超过 300 的字符串，如此长的两个字符串之间比对大小，就会非常耗时。我们需要尽可能地减少比较次数，而比较次数的减少会大大提高性能，这个时候二分查找就比顺序遍历更有优势。

最后，数据量太大也不适合二分查找。

二分查找的底层需要依赖数组这种数据结构，而数组为了支持随机访问的特性，要求内存空间连续，对内存的要求比较苛刻。比如，我们有 1GB 大小的数据，如果希望用数组来存储，那就需要 1GB 的连续内存空间。

注意这里的 “ 连续 ” 二字，也就是说，即便有 2GB 的内存空间剩余，但是如果这剩余的 2GB 内存空间都是零散的，没有连续的 1GB 大小的内存空间，那照样无法申请一个 1GB 大小的数组。而我们的二分查找是作用在数组这种数据结构之上的，所以太大的数据用数组存储就比较吃力了，也就不能用二分查找了。

解答开篇

我们来看下开篇的思考题：如何在 1000 万个整数中快速查找某个整数？

这个问题并不难。我们的内存限制是 100MB ，每个数据大小是 8 字节，最简单的办法就是将数据存储在数组中，内存占用差不多是 80MB ，符合内存的限制。借助今天讲的内容，我们可以先对这 1000 万数据从小到大排序，然后再利用二分查找算法，就可以快速地查找想要的数据了。

看起来这个问题并不难，很轻松就能解决。实际上，它暗藏了 “ 玄机 ” 。如果你对数据结构和算法有一定了解，知道散列表、二叉树这些支持快速查找的动态数据结构。你可能会觉得，用散列表和二叉树也可以解决这个问题。实际上是不行的。

虽然大部分情况下，用二分查找可以解决的问题，用散列表、二叉树都可以解决。但是，我们后面会讲，不管是散列表还是二叉树，都会需要比较多的额外的内存空间。如果用散列表或者二叉树来存储这 1000 万的数据，用 100MB 的内存肯定是存不下的。而二分查找底层依赖的是数组，除了数据本身之外，不需要额外存储其他信息，是最省内存空间的存储方式，所以刚好能在限定的内存大小下解决这个问题。

内容小结

今天我们学习了一种针对有序数据的高效查找算法，二分查找，它的时间复杂度是 O(logn) 。

二分查找的核心思想理解起来非常简单，有点类似分治思想。即每次都通过跟区间中的中间元素对比，将待查找的区间缩小为一半，直到找到要查找的元素，或者区间被缩小为 0 。但是二分查找的代码实现比较容易写错。你需要着重掌握它的三个容易出错的地方：循环退出条件、 mid 的取值， low 和 high 的更新。

二分查找虽然性能比较优秀，但应用场景也比较有限。底层必须依赖数组，并且还要求数据是有序的。对于较小规模的数据查找，我们直接使用顺序遍历就可以了，二分查找的优势并不明显。二分查找更适合处理静态数据，也就是没有频繁的数据插入、删除操作。

课后思考

1. 如何编程实现“求一个数的平方根”？要求精确到小数点后6位。
2. 我刚才说了，如果数据使用链表存储，二分查找的时间复杂就会变得很高，那查找的时间复杂度究竟是多少呢？如果你自己推导一下，你就会深刻地认识到，为何我们会选择用数组而不是链表来实现二分查找了。

1.根据 x 的值，判断求解值 y 的取值范围。假设求解值范围 min < y < max 。

若 0

若 x=1 ，则 y=1 ；

若 x>1 ，则 min=1 ， max=x ；

在确定了求解范围之后，利用二分法在求解值的范围中取一个中间值 middle=(min+max)÷2 ，判断 middle 是否是 x 的平方根。

若 (middle+0.000001) * (middle+0.000001) ＞x 且 (middle-0.000001) * (middle-0.000001)

若 middle * middle > x ，表示 middle ＞实际求解值， max=middle;

若 middle*middle ＜ x ，表示 middle ＜实际求解值， min =middle;

之后递归求解！

备注：因为是保留 6 位小数，所以 middle 上下浮动 0.000001 用于介值定理的判断

2.假设链表长度为 n ，二分查找每次都要找到中间点 ( 计算中忽略奇偶数差异 ):

第一次查找中间点，需要移动指针 n/2 次；

第二次，需要移动指针 n/4 次；

第三次，需要移动指针 n/8 次；
…

以此类推，一直到 1 次为止

总共指针移动次数 ( 查找次数 ) = n/2 + n/4 + n/8 + …+ 1 ，这显然是个等比数列，根据等比数列求和公式： Sum = n - 1.

最后算法时间复杂度是： O(n-1) ，忽略常数，记为 O(n) ，时间复杂度和顺序查找时间复杂度相同

但是稍微思考下，在二分查找的时候，由于要进行多余的运算，严格来说，会比顺序查找时间慢。

附：C语言代码

#include 

/* 
 * 二分查找
 * 二分查找针对的是一个有序的数据集合，查找思想有点类似分治思想。
 * 每次都通过跟区间的中间元素对比，将待查找的区间缩小为之前的一半，直到找到要查找的元素，或者区间被缩小为0。
 */

typedef int(*bs)(int *arr, int len, int val);

int bsearch_recursion_i(int *arr, int low, int high, int val);

// 非递归实现（针对有序无重复数据）
// arr表示数组，len表示数组大小
int bsearch_iteration(int *arr, int len, int val){
    int low = 0, high = len - 1;

    // 注意是low <= high，而不是low < high
    while(low <= high){
        // 为防止high和low值较大相加溢出，故将(low+high)/2变为low+((high-low)/2)；另外将除2改为位运算，更快
        int mid = low + ((high - low)>>1);
        if (arr[mid] == val){
            return mid;
        }
        if (arr[mid] > val){
            high = mid - 1;// 不是high = mid，否则可能出现死循环；low同理
        }else{
            low = mid + 1;
        }
    }
    return -1;
}


// 递归实现(也是针对无重复数据)
int bsearch_recursion(int *arr, int len, int val){
    int low = 0, high = len - 1;
    bsearch_recursion_i(arr, low, high, val);
}


int bsearch_recursion_i(int *arr, int low, int high, int val){
    if(low > high){
        return -1;
    }
    int mid = low + ((high - low)>>1);
    if (arr[mid] == val){
        return mid;
    }
    if (arr[mid] > val){
        bsearch_recursion_i(arr, low, mid - 1, val);
    }else{
        bsearch_recursion_i(arr, mid + 1, high, val);
    }
}


void bsearch_test(bs bsearch){
    int arr[] = {1, 1, 2, 2, 5, 6, 6, 8, 8};
    int len = sizeof(arr)/sizeof(arr[0]);
    int search_values[] = {1, 4, 6, 7, 8, 10};
    int search_len = sizeof(search_values)/sizeof(arr[0]);

    int i;
    for(i=0; i<search_len; i++){
        int index = bsearch(arr, len, search_values[i]);
        if(index==-1){
            printf("%d isn't in arr\n", search_values[i]);
        }else{
            printf("%d at index %d of arr\n", search_values[i], index);
        }
    }
}


int main(){
    // 非递归
    printf("---iteration bsearch---\n");
    bsearch_test(bsearch_iteration);

    // 递归
    printf("---recursion bsearch---\n");
    bsearch_test(bsearch_recursion);
    return 0;
}