数学建模—整数规划（笔记）

第2章 整数规划

2.1整数规划的定义：

   数学规划中的变量（部分或全部）限制为整数时， 称为整数规划。若在线性规划模型中，变量限制为整数， 则称为整数线性规划。目前所流行的求解整数规划的方 法，往往只适用于整数线性规划。目前还没有一种方法 能有效地求解一切整数规划。

2.2 整数规划的分类：

 如不加特殊说明，一般指整数线性规划。对于整数 线性规划模型大致可分为两类 ：

（1）变量全限制为整数时，称纯（完全）整数规划。
（2）变量部分限制为整数的，称混合整数规划。

2.3整数规划的特点：

 （1） 原线性规划有最优解，当自变量限制为整数 后，其整数规划解出现下述情况 
 ⅰ）原线性规划最优解全是整数，则整数规划最优 解与线性规划最优解一致。        
 ⅱ）整数规划无可行解

iii）有可行解（当然就存在最优解），但最优解值变差。

（2）整数规划最优解不能按照实数最优解简单取整而获得。

2.4求解方法分类

       （1）分枝定界法—可求纯或混合整数线性规划。
       （2）割平面法—可求纯或混合整数线性规划。 
       （3）隐枚举法—求解“0-1”整数规划。   
            i）过滤隐枚举法；       
            ii）分枝隐枚举法。 
       （4）匈牙利法—解决指派问题（“0-1”规划特殊情形）。
       （5）蒙特卡洛法—求解各种类型规划。 

2.2 0-1整数规划

01型整数规划是整数规划中的特殊情形，它的变量 j x 仅取0或 1。这时 j x 称为01变量，或称二进制 变量。 j x 仅取值0 或 1 这个条件可由下述约束条件 01 jx ，且为整数， 所代替，是和一般整数规划的约束条件形式一致的。

2.2.1 相互排斥的约束条件

把相互排斥的约束条件改成普通的约束条件，未 必需要引进充分大的正实数， 例如相互排斥的约束条件

2.2.2 关于固定费用的问题

  在讨论线性规划时，有些问题是要求使成本为最小。 那时总
  设固定成本为常数，并在线性规划的模型中不必 明显列出。   
  但有些固定费用（固定成本）的问题不能用 一般线性规划来
   述，但可改变为混合整数规划来解决。

2.2.3 指派问题的数学模型

2.3 蒙特卡洛法

   蒙特卡洛方法也称为计算机随机模拟方法，它源于世界 著名的赌城—
   摩纳哥的 Monte Carlo（蒙特卡洛）。它是基于 对大量事件的统计结果
   来实现一些确定性问题的计算。 蒙特卡洛方法可分为两类：  所求解
   的问题本身具有内在的随机性，借助计算机的 运算能力可以直接模拟
   这种随机的过程。  所求解问题可以转化为某种随机分布的特征数，
   比如 随机事件出现的概率，或者随机变量的期望值。用于求解复 杂的
   多维积分问题。