六自由度（6DoF）弹道在现代外弹道中属于新科贵族。尽管轴对称旋转弹的6DoF刚体弹道模型在20世纪初就已经被建立，但是直到50年代美国 BRL 的 R.H.Kent 才系统性地采用向量方法重新定义了刚体弹道。文中采用弹轴矢量法介绍6DoF刚体弹道只是对 R.H.Kent 等理论的更新和整理。在30年代的 BRL，很多学者就已经对6DoF弹道模型非常了解了，但是还没有出现在实用层面上对这些微分方程进行求解的，直到40年代末期高速数字计算机的出现才开创了新局面。6DoF弹道模型的实用程序是在50年代末才正式出现，因为当时的计算机已经具备了满足需求的内存和求解速度。现今，计算机的快速发展使得普通的弹道学者也能够自己编程求解6DoF刚体弹道。
本文采用弹轴矢量法来介绍6DoF弹道模型，即通过矢量的方向余弦表示弹体的俯仰和偏航，而不是欧拉角。弹轴矢量法的优势如下：
- 坐标系简单：除基准坐标系外，不需要其他坐标系统，也适合大攻角的情况；
- 数学处理方便：在对6DoF方程进行数学处理（线性化、降阶等）时，推导过程更加方便。
6DoF弹道模型需要采用数值积分的方法求解，数值方法可能是弹道模型（旋转弹和非旋转弹）最精确的求解方式了。如前一章中介绍，数值积分需要提供物理参数、气动力、初始和边界条件等。值得注意的是，弹道学者将数值积分称作“GI-GO（Garbage In - Garbage Out）”，如果你输入的参数（气动等）是有问题的，那么得到的结果一定是错误的或者无法完成计算。对弹道的任何分析都需要依靠高质量的输入参数！
6DoF弹道模型的基本方程
弹道模型的基本要素包含坐标系、作用力、运动方程，其中坐标系和作用力已经在第三章进行了介绍，因此章从运动方程开始。
运动基本方程
基于弹轴矢量法的六自由度（6DoF）刚体弹道模型具有求解弹丸飞行过程中线运动和角运动的能力。牛顿定律表明：刚体的动量变化率等于所有外作用力之和，角动量变化率等于所有作用在刚体上的外力矩之和。
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式中，采用矢量的形式表示作用力和力矩的方向，将公式右侧的力和力矩代入即可得到矢量形式的6DoF弹道模型。
弹轴矢量法中将矢量绕质心的角动量分解为两部分：1）沿弹轴x方向的角动量；2）弹轴法向角动量，因此角动量基本方程表示为：
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轴对称的假设能够将旋转弹绕弹轴方向的角动量分量单独提取出来，将横向部分的角速度q、r 统一考虑在弹轴矢量x的导数以内，对H进行变换得到：
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其中，第一项表示高转速p引起的角动量分量，对上式进行时间求导后得到角动量的变化率，如下所示。
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对公式两侧分别进行点乘和叉乘后，将弹轴方向的转速独立出来，得到两组重要的转换关系式。
[图片上传失败...(image-2a6660-1523542316105)]=\frac{I_{x}p}{I_{y}})
[图片上传失败...(image-18f991-1523542316105)]=\frac{d\vec{x}}{dt})
将第三章中的气动力和力矩代入牛顿第二定律即可得到完整形式的6DoF刚体弹道方程。
[图片上传失败...(image-bc6e61-1523542316105)]] + \frac{\rho SdC_{Np\alpha}}{2m}(\frac{I_{y}}{I_{x}})(\vec{h} \cdot \vec{x})(\vec{v} \times \vec{x}) + \vec{g} + \vec{\Lambda})
[图片上传失败...(image-953c3b-1523542316105)]\vec{x} + \frac{\rho vSdC_{M\alpha}}{2I_{y}}(\vec{v} \times \vec{x}) + \frac{\rho Sd^{2}C_{Mp\alpha}}{2I_{x}}(\vec{h} \cdot \vec{x})[\vec{x} \times (\vec{v} \times \vec{x})]+ \frac{\rho vSd^{2}(C_{Mq}+C_{M\dot{\alpha}})}{2I_{y}}(\vec{x} \times \frac{d\vec{x}}{dt}))
刚体弹道中的向量都可以表示为其在基准坐标系OXYZ上的投影分量（用1、2、3下标表示），则将方程写成分量形式，即方程组:
[图片上传失败...(image-3b2e4c-1523542316105)] + \tilde{C}_{Np\alpha} + g_{1} + \Lambda_{1})
[图片上传失败...(image-1dc3b8-1523542316105)] + \tilde{C}_{Np\alpha} + g_{2} + \Lambda_{2})
[图片上传失败...(image-ed861e-1523542316105)] + \tilde{C}_{Np\alpha} + g_{3} + \Lambda_{3})
[图片上传失败...(image-635907-1523542316105)] + [\tilde{C}{Mp\alpha}](v{1}-vx_{1}{\rm{cos}} \alpha_{t}) +\tilde{C}_{Mq})
[图片上传失败...(image-5f83ba-1523542316105)] + [\tilde{C}{Mp\alpha}](v{2}-vx_{2}{\rm{cos}} \alpha_{t}) +\tilde{C}_{Mq})
[图片上传失败...(image-ccd8f9-1523542316105)] + [\tilde{C}{Mp\alpha}](v{3}-vx_{3}{\rm{cos}} \alpha_{t}) +\tilde{C}_{Mq})
式中，弹体总攻角满足关系式
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姿态的提取
6DoF弹道模型的基本方程中并不直接对姿态进行求解，需要经过一些处理间接计算。
将弹体滚转角速率提取出来进行独立求解，即公式：
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弹轴矢量在基准系中的投影分量，如公式:
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弹轴矢量法直接对速度和角动量进行常微分求解，并不直接得到欧拉角和角速率的关系式，但是采用以下公式可以近似求解飞行过程中的攻角等状态参量。
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[图片上传失败...(image-339a6-1523542316105)] - \psi)
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综上所述，6DoF刚体弹道模型的常微分方程状态量包含质心位移、速率、弹轴矢量和角动量（共12个变量），即
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6DoF弹道模型的数值计算
第五章展示了求解常微分方程的四个要素：
- 常微分方程：弹道方程
- 初始条件：射击诸元
- 边界条件：积分时长或弹丸落地
- 数值积分方法：龙格-库塔
除将质点弹道模型替换为6DoF弹道模型外，初始条件也相对更加复杂。6DoF刚体弹道模型中的12个变量均需要赋初值，一般涉及诸元提供的参量仅有滚转角速率一项角运动变量，其他姿态参量既可以直接认为是零值，也可以赋予一个小量，因为这些扰动量最终都会在陀螺稳定作用下衰减。
对6DoF弹道模型进行数值积分可以为科学研究提供多样的模拟环境，下面以 BRL 的一组结果展示模型的强大和酷炫，以此开启你的兴趣之门。
后记：至此，《现代外弹道学》系列选译就告一段落了。读过很多本外弹道相关数目，但这本是最朴实的。5年前这本书对我的课题研究进行了启蒙，再次向 R.L.McCoy致以最诚挚的谢意！