近世代数期末复习

2019年1月2号考近世代数，先把试题整理好，希望能过，文末有资料~

2016年考题

简答题(6分1个)

阐述二元关系、等价关系、等价类的定义

二元关系

集合的二元关系=某个子集 = ，记作

等价关系

等价关系是某个集合上的二元关系。满足以下条件：

1. 自反性：
2. 对称性：
3. 传递性：

则称是定义在上的等价关系，习惯上会把等价关系的符号由改写为。

并非所有的二元关系都是等价关系，一个简单的反例是比较两个数哪个大。

• 没有自反性
• 没有对称性

等价类

假设为等价关系，中的某个元素的等价类就是在中等价于的所有元素形成的子集:

当且仅当。

阐述群的定义(必背)

给定一个集合和一个二元关系，这个二元关系是一个的映射，如果这是一个群，满足以下四条性质：

1. 封闭性，对于任意给定的
2. 结合律，对于任意给定的，有
3. 单位元存在，，
4. 逆元存在，，

阐述环同态的定义

代数运算

一个到的映射叫做一个到的代数运算。

同态

，和分别是和代数运算。
且

是到上的同态映射。

同态是从一个代数结构到同类代数结构的映射，它保持所有相关的结构不变；也即，所有诸如幺元、逆元、和二元运算之类的属性不变。

环同态

指两个环与之间的映射保持两个环的加法与乘法运算。

阐述既约多项式，既约元，素元的定义。

素元，既约元

设是具有单位元的整环，中所有可逆元的集合为，且，

• 如果，是的既约元
• 如果，是的素元

整数环中的素数，既是既约元又是素元

既约多项式

具有单位元的整环上多项式

唯一分解环R的既约元是素元

阐述什么是超越元，和代数元，并简述两种情况下有限域的结构。

超越元与代数元

设是域上的扩域，称为上的一个代数元，假如存在不全为零的。换句话说，是中非零多项式的根。中元素不是上的代数元称为上的超越元。

单代数扩域和单超越扩域

设是域上的扩域，，包含和的的最小子域称为添加于的单扩域，记为。如果是上的代数元，则称为单代数扩域；如果是上的超越元，则称为单超越扩域。

填空选择(6分1个)

填空

考察保持距离的双射

考察矩阵的阶

求二阶矩阵A,BA,以及BA的阶

考察欧式环

选择

三个置换群相乘，求结果

三个置换群相乘，求结果，从右往左画图

考察单位元，素元

单位元的整环里，已知P是素元，那么()
A. P一定是既约元
B. P一定不是既约元
C. P一定不是既约元
D. 以上说法都不对

解析：由定理：具有单位元的整环里，每一个素元都是既约元。选A

大题(10分一道)

证明模余群是交换群，原题出自PPT

证明是二元运算，即保证了群的封闭性。

证明为群后，再证明满足交换律即可。

辗转相除

思路：表示摸3的剩余类，在做辗转相除的过程中，系数自动模3，先配平高阶的，即观察到的前面系数为2，为了保证，这里我们的系数就可以取2，然后观察到多了这个项，于是我们添加，这样模3以后就消失了。
同时，要保证除数的最高次数要高于余数的最高次数(想想为什么)。
在第二步中，我们配一个，此时发现后面多了一个，余数就不能写作，这样除数的最高次数要小于余数的最高次数。所以要继续配，把给模3掉，于是后面就加上，这样结果就为的系数就为6了，以此类推，后面配好的系数。
求出最大公约数后，反转过来，最后结果记得模3。

代数元

思路：首先要弄清楚代数元的概念，上面已经写了。设形式如是上的扩域，假设扩域为，即。即要满足是中非零多项式的根。

2019年复习题

简答题(6分1个)

阐述同态映射，群同态的定义

同态

，和分别是和代数运算。
且

是到上的同态映射。

同态是从一个代数结构到同类代数结构的映射，它保持所有相关的结构不变；也即，所有诸如幺元、逆元、和二元运算之类的属性不变。

同态映射(必背)

群同态(必背)

给定两个群。从到的群同态的映射函数，使得对于所有中的和成立下述不等式：

其中是上的运算，是上的运算。

每一个群同态确定两个重要的子群：它的像和它的核。

像

容易理解，是映射的象

并且它是的一个子群

核

不好理解，它是被映为中单位元的的元素的集合。

可以表示为单位元的原像，核是的子群，因为若a和b在中，则:
，于是

阐述正规子群的定义(必背)

设群是的子群，且，称是的正规子群，记作。

一个群的子群是正规子群的充要条件是：

同态的核是正规子群

阐述凯莱定理(必背)

任何一个群都同一个变换群同构。

证明

假设是一个群，的元是
我们先构造一个同构的变换群
我们在中任取一个元，设是集合的一个变换，中的任意元经过变换可以得到，每一个元经过变换后得到：
,

同构映射

同构映射

推论

任何抽象群都可以找到具体的变换群与它同构。

阐述整环，除环，理想，欧式环，唯一分解环的定义

环

集合和定义在其上的二元运算和，形成一个交换群(阿贝尔群)，单位元为零元，记作

• 是封闭的
• ，满足加法交换律
• ，满足加法结合律

形成一个半群，即

• 是封闭的

乘法关于加法满足分配律，即

整环

非平凡的环满足下列要求：

1. 乘法适合交换律：
2. 存在乘法的单位元：
3. 没有零因子：

简单来说，一个无零因子的非平凡交换环称为整环，例如整数环。

除环(必背)

除环满足下列要求：

1. 至少包含一个不等于零的元
2. 有一个单位元
3. 的每一个不等于零的元都有逆元

一个交换除环叫做一个域

子环

为环，是的一个非空子集，子环满足下列要求：

1. 的零元也在S里面

等价证明：

理想(必背)

环的一个非空子集叫一个理想子环，简称理想，假如

唯一分解环

具有单位元的整环称为唯一分解环，假如中除了零元与可逆元外的所有元素都有唯一分解。

1. 中除了零元与可逆元外都有一个分解，，是的既约元。
2. 中每一个既约元都是素元

整数环是一个唯一分解环。

欧式环

具有单位元的整环，称为欧几里德(Euclid)环(简称欧式环)，假如满足：

1. 存在一个从到非负整数集的一个映射，这里的是的所有非零元的集合。
2. 设，对于任何，都存在，使得，这里或。

整数环是一个欧式环。

阐述单代数扩域，单超越扩域

域是交换除环。上面已经阐述。

填空选择(6分1个)

填空

考察可逆元、素元、既约元

可逆元

在环中
(乘法单位元)

素元，既约元

设是具有单位元的整环，中所有可逆元的集合为，且，

• 如果，是的既约元
• 如果，是的素元

整数环中的素数，既是既约元又是素元

既约多项式

具有单位元的整环上多项式

唯一分解环R的既约元是素元

考察主理想的两种形式(必背)

设是交换的元素

1. 如果是交换环，则
2. 如有是有单位元的环，则
3. 如果是有单位元的交换环，则

题目：设是交换环的元素，由交换环中元素生成的主理想，记为，则(a)=_______
思路：按有无单位元分两种情况，答案填写第1点和第3点。

置换计算(必背)

思路：是由右向左乘的

求逆

辗转相除(必背)

先求最大公约数

再把过程反转过来

域相关

大题

考察凯莱定理，置换群(必背)

思路：由定理：每一个有限群都与一个置换群同构。问题是如何构造一个置换群。这里要将

和欧拉公式

对应起来，

考察环同态和主理想(必背)

首先记住定理

题目:

考察扩域定理证明(必背)

知识点

定理

假设和是两个同态的代数系统，如果是群，那么是群。
该定理可以用来证明某个代数系统是群，思路是先构造已知群的同态结构。
循环群的子群是循环群

最后

考完了，基本是上述的重点，操作得不够熟练，卡在了辗转多项式的求逆过程，好歹最后用其他方法做出来，上述都是个人写的，可能会有错误，复习的时候仔细看看。

参考资料：

1. 维基百科之抽象代数
2. 北邮研究生近世代数LSS老师期末试题
3. Cmd Markdown 公式指导手册

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