递归算法-基于归纳法

在递归算法的设计思想里面，可以把递归算法分为两种大的类型，一种是基于归纳法的递归，另一种是基于分治法的递归。前者是将数学里面的归纳法，最终归于一个基础项的计算思想应用到算法设计中而形成的，后者则是把一个问题分成多个子问题进行求解。本篇博文讨论前者-基于归纳法的递归算法。

1, 基本思想方法

对于一个问题规则为n的问题P(n)，归纳法的思想方法是：

1）基础步：a1是问题P(1)的解。

2）归纳步：对所有的k,1

这个论断大家应该都熟悉，在高中数学里经常用归纳法证明一个数学问题，就是当n=k(=1，2)时，给定结论满足。假定当k时也满足，然后证明k+1时也满足，这个原理基本上是一样的。

2,递归算法的例子

一个最为大家所熟知的例子就是计算阶乘，如下所述：

2.1 计算阶乘函数n!

输入：n

输出：n!

int factorial(int n){
     if(n==0)
           return 1;
     else
           return n*factorial(n-1);
}

2.2 基于递归的插入排序

基于这个的思想进行递归：

1）基础步：当n=1时，数组只有一个元素，它已经是排序的。

2）归纳步：如果前面k-1个元素已经排序的，则插入第k个元素，只需要将第k个元素与前面的k-1个

输入：数组A[],数组的元素个数n；

输出：按递增顺序排序的数组A[]；

void insert_sort_rec(int a[],int n){
      int k;
      int m;
      n=n-1;
      if(n>0){
             insert_sort_rec(a,n);
             m=a[n];
             k=n-1;
             while( (k>=0)&&a[k]>m)){
                 a[k+1]=a[k];
                 k=k-1;
              }
              a[k+1]=a
       }
}

3,排列问题的递归算法

该问题的描述是生成n个数的所有排列。用递归可以采取以下步骤：

1）数组第一个元素为1，即排列的第一个元素为1，生成后面的n-1个元素的排列。

2）排列的第一个元素为2，生成后面的元素排列。

就这样继续，最后排列的第一个元素为n。

然后对于第一个元素为1的排列，再假定第二个元素为2，生成后面n-2个元素的排列，假定第二个元素为3....,有：

基础步：k=1时，只有一个元素，已经构成一个排列。

归纳步：对任意的k（1

输入：数组a[]，数组的元素个数n, 当前递归层次完成排列的元素个数k.

输出：数组a[]的所有排列。

void perm(int a[],int k,int n){
     int i;
     if(k==1){
         for(i=0;i