求单边余弦函数的傅里叶变换

求单边余弦函数的傅里叶变换

最近在学习信号与系统课程，输入信号为$$x\left(t\right)=\cos \left({\omega }_{0}t\right)u\left(t\right)$$需要求其傅里叶变换
已知余弦函数的傅里叶变换为$$F\left[\cos {\omega }_{0}t\right]=\pi \left[\delta \left(\omega -{\omega }_0\right)+\delta \left(\omega +{\omega }_0\right)\right]$$
单边阶跃函数的傅里叶变换为$$F\left[u\left(t\right)\right]=\pi \delta \left(\omega \right)-\frac{1}{\omega }j$$
根据傅里叶变换的性质$$F\left[\cos \left({\omega }_{0}t\right)u\left(t\right)\right]=\frac{1}{2\pi }\left[F\left[\cos {\omega }_{0}t\right]\ast F\left[u\left(t\right)\right]\right]$$
$$=\frac{\pi }{2}\left[\delta \left(\omega -{\omega }_0\right)+\delta \left(\omega +{\omega }_0\right)\right]-\left(\frac{{\omega }_{0}j}{{\omega }^2-{{\omega }_0}^2}\right)$$