重学数据结构与算法(02)--将时间复杂度转换成空间复杂度

面试的过程中，常常会遇到考察手写代码的场景，通常面试官会追问：“这段代码的时间复杂度或者空间复杂度，是否还有降低的可能性？”如果没有经过专门的学习或训练，应聘者只能在各种漫无目的的尝试中去寻找答案。

别忘了，代码效率优化就是要将可行解提高到更优解，最终目标是：要采用尽可能低的时间复杂度和空间复杂度，去完成一段代码的开发。

你可能会困惑，优化代码需要积累非常多的实际经验，初学者通常很难找到最优的编码解决方案。其实，代码效率的提高也是有其核心思路的。掌握了下面所讲的核心思路后，对于绝大多数的编码任务，你都能找到最优或者逼近最优的编码方式。

1）时间昂贵、空间廉价

一段代码会消耗计算时间、资源空间，从而产生时间复杂度和空间复杂度。

假设一段代码经过优化后，虽然降低了时间复杂度，但依然需要消耗非常高的空间复杂度。 例如，对于固定数据量的输入，这段代码需要消耗几十 G 的内存空间，很显然普通计算机根本无法完成这样的计算。如果一定要解决的话，一个最简单粗暴的办法就是，购买大量的高性能计算机，来弥补空间性能的不足。

反过来，假设一段代码经过优化后，依然需要消耗非常高的时间复杂度。 例如，对于固定数据量的输入，这段代码需要消耗 1 年的时间去完成计算。如果在跑程序的 1 年时间内，出现了断电、断网或者程序抛出异常等预期范围之外的问题，那很可能造成 1 年时间浪费的惨重后果。很显然，用 1 年的时间去跑一段代码，对开发者和运维者而言都是极不友好的。
代码效率的瓶颈可能发生在时间或者空间两个方面。如果是缺少计算空间，花钱买服务器就可以了。这是个花钱就能解决的问题。相反，如果是缺少计算时间，只能投入宝贵的人生去跑程序。即使你有再多的钱、再多的服务器，也是毫无用处。相比于空间复杂度，时间复杂度的降低就显得更加重要了。因此，你会发现这样的结论：空间是廉价的，而时间是昂贵的。

2）数据结构连接时空

假定在不限制时间、也不限制空间的情况下，你可以完成某个任务的代码的开发。这就是通常我们所说的暴力解法，更是程序优化的起点。
例如，如果要在 100 以内的正整数中，找到同时满足以下两个条件的最小数字：

• 能被 3 整除；
• 除 5 余 2。

最暴力的解法：从 1 开始到 100，每个数字都做一次判断。如果这个数字满足了上述两个条件，则返回结果。这是一种不计较任何时间复杂度或空间复杂度的、最直观的暴力解法。

当你有了最暴力的解法后，就需要评估当前暴力解法的复杂度了，如果暴力解法复杂度比较高的话，那就要考虑采用程序优化的方法去降低复杂度。

为了降低复杂度，直观的思路是：梳理程序，看其流程中是否有无效的计算或者无效的存储。

我们需要从时间复杂度和空间复杂度两个维度来考虑。常用的降低时间复杂度的方法有递归、二分法、排序算法、动态规划等，而降低空间复杂度的方法，就要围绕数据结构做文章了。

降低空间复杂度的核心思路就是，能用低复杂度的数据结构能解决问题，就千万不要用高复杂度的数据结构。
经过了前面剔除无效计算和存储的处理之后，如果程序在时间和空间等方面的性能依然还有瓶颈，最不济也是可以通过购买更高性能的计算机进行解决的。然而时间是昂贵的，如果无法降低时间复杂度，那系统的效率就永远无法得到提高。

这时候，开发者们想到这样的一个解决思路。如果可以通过某种方式，把时间复杂度转移到空间复杂度的话，就可以把无价的东西变成有价了。这种时空转移的思想，在实际生活中也会经常遇到。

例如，马路上的十字路口，所有车辆在通过红绿灯时需要分批次通行。这样，就消耗了所有车辆的通行时间。如果要降低这里的时间损耗，人们就想到了修建立交桥。修建立交桥后，每个可能的转弯或直行的行进路线，都有专属的一条公路支持。这样，车辆就不需要全部去等待红绿灯分批通行了。最终，实现了用空间换取时间。

其实，程序开发也是可以借鉴这里的思想的。在程序开发中，连接时间和空间的桥梁就是数据结构，对于一个开发任务，如果你能找到一种高效的数据组织方式，采用合理的数据结构的话，那就可以实现时间复杂度的再次降低。同样的，这通常会增加数据的存储量，也就是增加了空间复杂度。以上就是程序优化的最核心的思路，也是这个专栏的整体框架。我们简单梳理如下：

• 第一步，暴力解法，在没有任何时间、空间约束下，完成代码任务的开发；
• 第二步，无效操作处理，将代码中的无效计算、无效存储剔除，降低时间或空间复杂度；
• 第三步，时空转换，设计合理数据结构，完成时间复杂度向空间复杂度的转移

3）降低复杂度的案例

有了如上的方法论，我们给出几个例子，帮助你加深理解：

例一

假设有任意多张面额为 2 元、3 元、7 元的货币，现要用它们凑出 100 元，求总共有多少种可能性。假设工程师小明写了下面的代码：

public void s2_1() {
    int count = 0;
    for (int i = 0; i <= (100 / 7); i++) {
        for (int j = 0; j <= (100 / 3); j++) {
            for (int k = 0; k <= (100 / 2); k++) {
                if (i * 7 + j * 3 + k * 2 == 100) {
                    count += 1;
                }
            }
        }
    }
    System.out.println(count);
}`

在这段代码中，使用了 3 层的 for 循环。从结构上来看，是很显然的 O( n³ ) 的时间复杂度。然而，仔细观察就会发现，代码中最内层的 for 循环是多余的。因为，当你确定了要用 i 张 7 元和 j 张 3 元时，只需要判断用有限个 2 元能否凑出 100 - 7* i - 3* j 元就可以了。因此，代码改写如下：

public void s2_2() {
    int count = 0;
    for (int i = 0; i <= (100 / 7); i++) {
        for (int j = 0; j <= (100 / 3); j++) {
            if ((100-i*7-j*3 >= 0)&&((100-i*7-j*3) % 2 == 0)) {
                count += 1;
            }
        }
    }
    System.out.println(count);
}

经过改造后，代码的结构由 3 层 for 循环，变成了 2 层 for 循环。很显然，时间复杂度就变成了O(n²) 。这样的代码改造，就是利用了方法论中的步骤二，将代码中的无效计算、无效存储剔除，降低时间或空间复杂度。

例二

查找出一个数组中，出现次数最多的那个元素的数值。例如，输入数组 a = [1,2,3,4,5,5,6 ] 中，查找出现次数最多的数值。从数组中可以看出，只有 5 出现了 2 次，其余都是 1 次。显然 5 出现的次数最多，则输出 5。

工程师小明的解决方法是，采用两层的 for 循环完成计算。第一层循环，对数组每个元素遍历。第二层循环，则是对第一层遍历的数字，去遍历计算其出现的次数。这样，全局再同时缓存一个出现次数最多的元素及其次数就可以了。具体代码如下：

public void s2_3() {
	int a[] = { 1, 2, 3, 4, 5, 5, 6 };
	int val_max = -1;
	int time_max = 0;
	int time_tmp = 0;
	for (int i = 0; i < a.length; i++) {
		time_tmp = 0;
		for (int j = 0; j < a.length; j++) {
			if (a[i] == a[j]) {
				time_tmp += 1;
			}
			if (time_tmp > time_max) {
				time_max = time_tmp;
				val_max = a[i];
			}
		}
	}
	System.out.println(val_max);
}

在这段代码中，小明采用了两层的 for 循环，很显然时间复杂度就是 O(n²)。而且代码中，几乎没有冗余的无效计算。如果还需要再去优化，就要考虑采用一些数据结构方面的手段，来把时间复杂度转移到空间复杂度了。

我们先想象一下，这个问题能否通过一次 for 循环就找到答案呢？一个直观的想法是，一次循环的过程中，我们同步记录下每个元素出现的次数。最后，再通过查找次数最大的元素，就得到了结果。

具体而言，定义一个 k-v 结构的字典，用来存放元素-出现次数的 k-v 关系。那么首先通过一次循环，将数组转变为元素-出现次数的一个字典。接下来，再去遍历一遍这个字典，找到出现次数最多的那个元素，就能找到最后的结果了。
图解：

具体代码如下：

public void s2_4() {
	int a[] = { 1, 2, 3, 4, 5, 5, 6 };
	Map<Integer, Integer> d = new HashMap<>();
	for (int i = 0; i < a.length; i++) {
		if (d.containsKey(a[i])) {
			d.put(a[i], d.get(a[i]) + 1);
		} else {
			d.put(a[i], 1);
		}
	}
	int val_max = -1;
	int time_max = 0;
	for (Integer key : d.keySet()) {
		if (d.get(key) > time_max) {
			time_max = d.get(key);
			val_max = key;
		}
	}
	System.out.println(val_max);
}

我们来计算下这种方法的时空复杂度。代码结构上，有两个 for 循环。不过，这两个循环不是嵌套关系，而是顺序执行关系。其中，第一个循环实现了数组转字典的过程，也就是 O(n) 的复杂度。第二个循环再次遍历字典找到出现次数最多的那个元素，也是一个 O(n) 的时间复杂度。

因此，总体的时间复杂度为 O(n) + O(n)，就是 O(2n)，根据复杂度与具体的常系数无关的原则，也就是O(n) 的复杂度。空间方面，由于定义了 k-v 字典，其字典元素的个数取决于输入数组元素的个数。因此，空间复杂度增加为 O(n)。

这段代码的开发，就是借鉴了方法论中的步骤三，通过采用更复杂、高效的数据结构，完成了时空转移，提高了空间复杂度，让时间复杂度再次降低。

4）总结

无论什么难题，降低复杂度的方法就是下面三个步骤：

• 第一步，暴力解法。在没有任何时间、空间约束下，完成代码任务的开发；
• 第二步，无效操作处理。将代码中的无效计算、无效存储剔除，降低时间或空间复杂度；
• 第三步，时空转换。设计合理数据结构，完成时间复杂度向空间复杂度的转移

第一步的暴力解法没有太多的套路，只要围绕你面临的问题出发，大胆发挥想象去尝试解决即可；
第二步的无效操作处理中，你需要学会并掌握递归、二分法、排序算法、动态规划等常用的算法思维；
第三步的时空转换，你需要对数据的操作进行细分，全面掌握常见数据结构的基础知识。再围绕问题，有针对性的设计数据结构、采用合理的算法思维，去不断完成时空转移，降低时间复杂度。

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内容来源：《拉钩教育–重学数据结构与算法》
原文如下：