哈夫曼树以及编解码
这一篇要总结的是树中的最后一种，即哈夫曼树，我想从以下几点对其进行总结：
1，什么是哈夫曼树？
2，如何构建哈夫曼树？
3，哈夫曼编码？
4，算法实现？
一，什么是哈夫曼树
什么是哈夫曼树呢？
哈夫曼树是一种带权路径长度最短的二叉树，也称为最优二叉树。下面用一幅图来说明。
它们的带权路径长度分别为：
图a： WPL=5*2+7*2+2*2+13*2=54
图b： WPL=5*3+2*3+7*2+13*1=48
可见，图b的带权路径长度较小，我们可以证明图b就是哈夫曼树(也称为最优二叉树)。
二，如何构建哈夫曼树
一般可以按下面步骤构建：
1，将所有左，右子树都为空的作为根节点。
2，在森林中选出两棵根节点的权值最小的树作为一棵新树的左，右子树，且置新树的附加根节点的权值为其左，右子树上根节点的权值之和。注意，左子树的权值应小于右子树的权值。
3，从森林中删除这两棵树，同时把新树加入到森林中。
4，重复2，3步骤，直到森林中只有一棵树为止，此树便是哈夫曼树。
下面是构建哈夫曼树的图解过程：
三，哈夫曼编码
利用哈夫曼树求得的用于通信的二进制编码称为哈夫曼编码。树中从根到每个叶子节点都有一条路径，对路径上的各分支约定指向左子树的分支表示”0”码，指向右子树的分支表示“1”码，取每条路径上的“0”或“1”的序列作为各个叶子节点对应的字符编码，即是哈夫曼编码。
就拿上图例子来说：
A，B，C，D对应的哈夫曼编码分别为：111，10，110，0
用图说明如下：
记住，设计电文总长最短的二进制前缀编码，就是以n个字符出现的频率作为权构造一棵哈夫曼树，由哈夫曼树求得的编码就是哈夫曼编码。
摘自http://www.cnblogs.com/mcgrady/p/3329825.html#_label0
在电报通讯中，电文是以二进制的0、1序列传送的。字符集中的字符的使用频率是不同的（比如e和t的使用较之q和z要频繁得多），哈夫曼编码可以使得编码的总长最短，从而相同的位长可以传送更多的信息。
本程序以下面的字符及使用频率为例：
| 字符 |
权值 |
| a |
0.12 |
| b |
0.40 |
| c |
0.15 |
| d |
0.08 |
| e |
0.25 |
首先建立哈夫曼树：
| i |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
| tree[i].ch |
a |
b |
c |
d |
e |
|
|
|
|
| tree[i].weight |
0.12 |
0.40 |
0.15 |
0.08 |
0.25 |
0.20 |
0.35 |
0.60 |
1.00 |
| tree[i].parent |
5 |
8 |
6 |
5 |
7 |
6 |
7 |
8 |
0 |
| tree[i].lchild |
-1 |
-1 |
-1 |
-1 |
-1 |
3 |
2 |
4 |
1 |
| tree[i].rchild |
-1 |
-1 |
-1 |
-1 |
-1 |
0 |
5 |
6 |
7 |
得到哈夫曼树和哈夫曼编码如下：
下面是哈夫曼编码的存储结构：
| 序号 |
bits |
ch |
start |
|||
| 0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
a |
2 |
| 1 |
|
|
|
0 |
b |
5 |
| 2 |
|
1 |
1 |
0 |
c |
3 |
| 3 |
1 |
1 |
1 |
0 |
d |
2 |
| 4 |
|
|
1 |
0 |
e |
4 |
程序清单如下：
#include
#define n 5 //叶子数目
#define m (2*n-1) //结点总数
#define maxval 10000.0
#define maxsize 100 //哈夫曼编码的最大位数
typedef struct
{
char ch;
float weight;
int lchild,rchild,parent;
}hufmtree;
typedef struct
{
char bits[n]; //位串
int start; //编码在位串中的起始位置
char ch; //字符
}codetype;
void huffman(hufmtree tree[]);//建立哈夫曼树
void huffmancode(codetype code[],hufmtree tree[]);//根据哈夫曼树求出哈夫曼编码
void decode(hufmtree tree[]);//依次读入电文，根据哈夫曼树译码
void main()
{
printf(" ——哈夫曼编码——\n");
printf("总共有%d个字符\n",n);
hufmtree tree[m];
codetype code[n];
int i,j;//循环变量
huffman(tree);//建立哈夫曼树
huffmancode(code,tree);//根据哈夫曼树求出哈夫曼编码
printf("【输出每个字符的哈夫曼编码】\n");
for(i=0;i
printf("%c: ",code[i].ch);
for(j=code[i].start;j
printf("\n");
}
printf("【读入电文，并进行译码】\n");
decode(tree);//依次读入电文，根据哈夫曼树译码
}
void huffman(hufmtree tree[])//建立哈夫曼树
{
int i,j,p1,p2;//p1,p2分别记住每次合并时权值最小和次小的两个根结点的下标
float small1,small2,f;
char c;
for(i=0;i
tree[i].parent=0;
tree[i].lchild=-1;
tree[i].rchild=-1;
tree[i].weight=0.0;
}
printf("【依次读入前%d个结点的字符及权值(中间用空格隔开)】\n",n);
for(i=0;i
printf("输入第%d个字符为和权值",i+1);
scanf("%c %f",&c,&f);
getchar();
tree[i].ch=c;
tree[i].weight=f;
}
for(i=n;i
p1=0;p2=0;
small1=maxval;small2=maxval; //maxval是float类型的最大值
for(j=0;j
if(tree[j].weight
small2=small1; //改变最小权、次小权及对应的位置
small1=tree[j].weight;
p2=p1;
p1=j;
}
else
if(tree[j].weight
small2=tree[j].weight; //改变次小权及位置
p2=j;
}
tree[p1].parent=i;
tree[p2].parent=i;
tree[i].lchild=p1; //最小权根结点是新结点的左孩子
tree[i].rchild=p2; //次小权根结点是新结点的右孩子
tree[i].weight=tree[p1].weight+tree[p2].weight;
}
}//huffman
void huffmancode(codetype code[],hufmtree tree[])//根据哈夫曼树求出哈夫曼编码
//codetype code[]为求出的哈夫曼编码
//hufmtree tree[]为已知的哈夫曼树
{
int i,c,p;
codetype cd; //缓冲变量
for(i=0;i
cd.start=n;
cd.ch=tree[i].ch;
c=i; //从叶结点出发向上回溯
p=tree[i].parent; //tree[p]是tree[i]的双亲
while(p!=0)
{
cd.start--;
if(tree[p].lchild==c)
cd.bits[cd.start]='0'; //tree[i]是左子树，生成代码'0'
else
cd.bits[cd.start]='1'; //tree[i]是右子树，生成代码'1'
c=p;
p=tree[p].parent;
}
code[i]=cd; //第i+1个字符的编码存入code[i]
}
}//huffmancode
void decode(hufmtree tree[])//依次读入电文，根据哈夫曼树译码
{
int i,j=0;
char b[maxsize];
char endflag='2'; //电文结束标志取2
i=m-1; //从根结点开始往下搜索
printf("输入发送的编码(以'2'为结束标志)：");
gets(b);
printf("译码后的字符为");
while(b[j]!='2')
{
if(b[j]=='0')
i=tree[i].lchild; //走向左孩子
else
i=tree[i].rchild; //走向右孩子
if(tree[i].lchild==-1) //tree[i]是叶结点
{
printf("%c",tree[i].ch);
i=m-1; //回到根结点
}
j++;
}
printf("\n");
if(tree[i].lchild!=-1&&b[j]!='2') //电文读完，但尚未到叶子结点
printf("\nERROR\n"); //输入电文有错
}//decode
贴出一例运行结果：
摘自http://blog.sina.com.cn/s/blog_686d0fb001012qmh.html