二分查找和平衡二叉树

本文部分内容来自《图解算法》和《MySQL技术内幕 InnoDB存储引擎》

​ 在研究数据库索引B+树的数据结构之前，需要对二分查找、平衡二叉树等有一个基础的了解，才能更加清楚B+树索引的工作方式。

一、二分查找法

1、概述

​ 二分查找(binary search)法也叫做折半查找，输入一个有序的元素列表，如果要查找的元素包含在列表中，二分查找返回其位置，否则返回null。在查找过程中采用跳跃式方法查找，先以有序数列的中点位置为比较对象，如果要找的元素小于该中点值，则查找序列缩小为左半部分，否则缩小为右半部分。所以，二分查找法每进行一次比较，查找区间均缩小一半。

2、示例

​ 下面通过一个示例来说明二分查找的工作原理。在1到100之间随便取一个数字：

​ 假设另外一个人的目标是以最少的次数猜到这个数字，每次猜后，都会得到大了、小了或对了的结果反馈。假设他从1开始猜，会一直往上面猜，第一次猜1，第二次猜2，一直递增，每次都只能排除一个数字。如果数字为100，需要猜100次才能猜到。这种查找方式为简单查找。

​ 二分查找为：假设设置数字为57，第一次猜测数字为50，得到小了的结果，故排除了1～50之间的所有数字。第二次会猜测数字为75，得到大了的结果，剩余的50个数字又排除了一半。**使用二分查找时，猜测的是中间的数字，故每次都将剩余的数字排除一半。**接下来，会猜测为63(50和75之间的数字)，一直到猜到57这个数字。100个元素，不论设置哪个元素，都可以在7次以内猜到。

​ 一般而言，对于包含n个元素的列表，二分查找最多需要 ${\log }_{2}n$步，而简单查找最多需要n步。

3、代码实现

# 该代码来源于图解算法中示例，这里使用的是python2版本，所以求中间位置时直接使用/计算即可，python3可以使用//算法得到一个整数，如果得到的值是一个小数，python3会直接得到这个浮点值
def binary_search(list, item):
    low = 0
    high = len(list) - 1			# low和high参数主要用于追踪每次需要查找的范围
    
    while low <= high:				# 只要范围没缩小到只包含一个元素，就执行下面的操作
        mid = (low + high)/2		# 得到中间的元素的位置
        guess = list[mid]			# 得到中间元素的值
        if guess == item:			# 找到了对应元素
            return mid				# 返回对应元素所在位置
        if guess > item:			# 猜的数字大了
            high = mid -1			# 下一轮最大的数字所在位置为mid - 1
        else:						# 猜的数字小了
            low = mid + 1			# 下一轮最小数字所在位置为mid + 1
    return None						# 没有指定元素，就返回None

二、二叉查找树

​ 上图是一个二叉查找树，其中的数字代表了每个节点的键值，在二叉查找树中，左子树(节点的左分叉)的键值总是小于根的键值，右子树的键值总是大于根的键值。因此可以通过中序遍历得到键值的排序输出：2、3、5、6、7、8

二叉树四种主要的遍历思想为：
前序遍历：根结点 ---> 左子树 ---> 右子树
中序遍历：左子树---> 根结点 ---> 右子树
后序遍历：左子树 ---> 右子树 ---> 根结点
层次遍历：只需按层次遍历即可
例如：该二叉树的前序遍历为 6、3、2、5、7、8

​ 对上面这个二叉树进行查找，例如想要找到键值为5的记录，先找到根，根键值为6，比5大，所以查找6的左子树，找到3；而5比3大，查找3的右子树，找到5。一共找了3次，按照中序遍历的顺序查找也需要3次。同样的，若想要找键值为8的记录，使用二叉查找树也需要3次，但顺序查找就需要6次。

三、平衡二叉树

​ 二叉查找树可以任意构造，但不同的二叉树会导致查找效率存在很大不同。因此若想最大性能构造一个二叉查找树，需要它是平衡的，也就是平衡二叉树(AVL树)。

​ **平衡二叉树指：**在符合二叉查找树的基础上，不许保证任何节点的两个子树的高度最大差为1，可以看出，上面二叉查找树中的图也是一个平衡二叉树。平衡二叉树的性能是比较高的，但不是最高的，最好性能需要建立一个最优二叉树，但最优二叉树的创建和维护成本都比较高，所以一般平衡二叉树足够满足查询性能要求。

​ 平衡二叉树的查询性能很高，但维护一个平衡二叉树的成本非常大，通常来说，插入一个新的节点后，需要通过1次或多次左旋和右旋来得到新的平衡二叉树。下面通过插入新的键值9来表示更新过程：