棋盘问题---状态压缩
**********此文章属于原创，看此文章前请先参考论文 周伟《动态规划之状态压缩》**********
问题1：
在n*n(n≤20)的方格棋盘上放置n个车(可以攻击所在行、列)，求使它们不能互相攻击的方案总数。
如果用组合学的角度来考虑此问题，那么非常简单：
我们一行一行放置，第一行有n种选择，第二行n-1，……，最后一行有1种选择，根据乘法原理，答案就是n!
这里我们介绍另一种解法：状态压缩递推(States Compressing Recursion,SCR)。
- 我们仍然一行一行放置。
- 取棋子的放置情况作为状态，某一列如果已经放置棋子则为1，否则为0。这样，一个状态就可以用一个最多20位的二进制数表示。
- 例如n=5,第1、3、4列已经放置，则这个状态可以表示为01101(从右到左)。设fs为达到状态s的方案数，则可以尝试建立f的递推关系。
- 考虑n=5,s=01101
- 因为我们是一行一行放置的，所以当达到s时已经放到了第三行。又因为一行能且仅能放置一个车，所以我们知道状态s一定来自：
①前两行在第3、4列放置了棋子(不考虑顺序，下同)，第三行在第1列放置；
②前两行在第1、4列放置了棋子，第三行在第3列放置；
③前两行在第1、3列放置了棋子，第三行在第4列放置。
这三种情况互不相交，且只可能有这三种情况，根据加法原理，fs应该等于这三种情况的和。写成递推式就 是：
f(01101) = f(01100) + f(01001) ＋ f(00101);
- 根据上面的讨论思路推广之，得到引例的解决办法：
f(0) = 1;
f(s) = ·f(s-2^i);
其中s的右起第i+1位为1(其实就是在枚举s的二进制表示中的1)
代码如下：
#include
#include
using namespace std;
long long f[1<<20];
int main(){
long long n;
while(cin>>n){
memset(f,0,sizeof(f));
f[0] = 1;
long long i,t;
for( i=1; i< 1<0; t -= (t & -t)){
f[i] += f[i & ~(t & -t)]; //注意理解
}
}
cout<
问题2：在n*n(n≤20)的方格棋盘上放置n 个车，某些格子不能放，求使它们不能互
相攻击的方案总数。
输入：给你一个n和m，分别表示棋盘的大小，不能放的格子总数
接下来是m行坐标，表示不能放置的位子。
输出：符合条件的方案总数。
0表示可以放置，1表示不能放置
0 1 0
0 0 1
0 0 0
输入：
3 2
1 2
2 3
输出：3
输入：
4 1
1 1
输出：3*3*2*1 == 18
提示：
1 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
#include
#include
#include
#include
using namespace std;
long long f[1<<20];
long long vist[22];
int main(){
long long n,m;
while(cin>>n>>m){
memset(f,0,sizeof(f));
memset(vist,0,sizeof(vist));
for(int i=0;i>a>>b;
vist[a] += 1<<(b-1); //某一个位置不能放置，把这个位置压缩成整数
}
f[0] = 1;
for(int i=1;i< 1<0;j -= (j & -j)) num++; //计算 i 这一个状态 1 的个数，也就是最多包涵的行数
for(int j=i;j>0;j -= (j & -j)) {
if(!(vist[num]&(j & -j))) f[i] += f[ i& ~(j & -j)];//判断该位置是否可以放置
}
}
cout<
问题3：给出一个n*m 的棋盘(n、m≤80,n*m≤80)，要在棋盘上放k(k≤20)个棋子，
使得任意两个棋子不相邻。求可以放置的总的方案数
#include
#include
#include
#include
using namespace std;
int s[1<<10],c[1<<10],f[82][1<<9][21];
int n,m,num,flag,val;
void DFS(int ans,int pos,int flag){ ///////////////////////
if(pos>n) {
s[++num] = ans;
c[num] = flag;
return;
}
DFS(ans,pos+1,flag);
DFS(ans+(1<>n>>m>>val){
if(n>m) swap(n,m); // 行列交换
num = 0; // 状态数初始化
DFS(0,1,0); // 参数：当前状态，位置，1的个数 ，找出一行中符合条件的总数
memset(f,0,sizeof(f));
///////////////////////////////////////////
for(int i=1;i<=num;i++) //第一行进行初始化，状态中有多少个1就初始多少
f[1][s[i]][c[i]] = 1;
for(int i=2;i<=m;i++){ //第几行
for(int j=1;j<=num;j++){ //某一行的某个状态
for(int r=1;r<=num;r++){ //上一行的某个状态
if(!(s[j]&s[r])){ //当前行和上一行状态不冲突
for(int k=0;k<=val;k++){ //枚举当前一行棋子的个数
if(k>=c[j]) f[i][s[j]][k] += f[i-1][s[r]][k-c[j]]; //借助上一行的状态枚举当前状态
}
}
}
}
}
long long sum=0;
for(int i=1;i<=num;i++) // 累加最后一行符合条件的总数
sum += f[m][s[i]][val];
cout<
问题4：
在n*n(n≤10)的棋盘上放k 个国王(可攻击相邻的8 个格子)，求使它们无法
互相攻击的方案数。
#include
#include
#include
#include
#include
using namespace std;
long long f[11][1<<10][30];
int s[1<<10],c[1<<10],num;
int n,m,val;
void DFS(int ans,int pos,int flag){
if(pos>n){
s[++num] = ans;
c[num] = flag;
return ;
}
DFS(ans,pos+1,flag);
DFS(ans+(1<>n>>m>>val){
num = 0;
DFS(0,1,0);
memset(f,0,sizeof(f));
for(int i=1;i<=num;i++)
f[1][s[i]][c[i]]=1;
for(int i=2;i<=n;i++){
for(int j=1;j<=num;j++){ //当前行
for(int r=1;r<=num;r++){ //上一行
if((s[j]&s[r]) || ((s[j]>>1)&s[r]) || ((s[j]<<1)&s[r])) continue; //八个方向判断
for(int k=0;k<=val;k++){
if(k>=c[j]) f[i][s[j]][k] += f[i-1][s[r]][k-c[j]];
}
}
}
}
long long sum=0;
for(int i=1;i<=num;i++)
sum += f[n][s[i]][val];
cout< 题目5：给出一个n*m(n≤100,m≤10)的棋盘，一些格子不能放置棋子。求最多能在
棋盘上放置多少个棋子，使得每一行每一列的任两个棋子间至少有两个空格。
#include
#include
#include
#include
#include
using namespace std;
long long f[11][1<<10];
int n,m,s[1<<10],c[1<<10];
int num,ant,a[1<<10];
void DFS(int ans,int pos,int flag){
if(pos>m){
s[++num] = ans;
c[num] = flag;
return ;
}
DFS(ans,pos+1,flag);
DFS(ans+(1<>n>>m>>ant){
int p,q;
for(int i=0;i>p>>q;
a[p] += (1< 题目6:
给出n*m(1≤n、m≤11)的方格棋盘，用1*2 的长方形骨牌不重叠地覆盖这个
棋盘，求覆盖满的方案数。
#include
#include
#include
#include
#include
#include
using namespace std;
long long f[12][1<<14];
int s1[1<<14],s2[1<<14],s[1<<14],ss[1<<14];
int n,m,num,flag;
bool vist[1<<14];
void DFS(int ans1,int ans2,int pos){
if(pos>n) {
if(pos==n+1) {
s1[++num] = ans1;
s2[num] = ans2;
}
return ;
}
DFS(ans1,ans2,pos+1); // 不放
DFS(ans1+(1<n){
if(pos==n+1)
s[++flag] = ans;
return;
}
dfs(ans,pos+1);
dfs(ans+(1<>n>>m){
if(n==0 && m==0) break;
if(n%2 && m%2){ cout<<'0'< m) swap(n,m);
if(n%2) swap(n,m);
if(m==1) { cout<<'1'<