数学物理方法 06 定解问题

第六章定解问题 

§6.1引言 

6.1.1数理方程简介 

1.数学物理方程概念 
数学物理方程是指从物理、工程问题中,导出的反映客观物理量在各个地点、时刻之间相互制约关系的一些偏微分方程. 
数学物理方程{线性方程非线性方程  

2.数理方程的产生和发展 
(1)18世纪初期:taylor:u tt =a 2 u xx +f 
(2)19世纪中期:三类数学物理方程: 
波动方程:u tt =a 2 Δu+f 
u−波动,a−波速,f−与源有关的函数 

输运方程:u t =DΔu+f 
u−浓度,D−系数,f−与源有关的已知量 

泊松方程:Δu=−h 
h−与源有关的已知量,u−表示稳定物理量 

(3)19世纪末到20世纪初 
高阶方程(梁的横震动):u tt =a 2 u xxxx +f(x,t) 
非线性方程:KdV:u t +σuu x +u xxx =0 
schro ¨ −dinger:iℏ∂ψ∂t =−ℏ 2 2u Δψ+U(r)ψ 

6.1.2用数理方法研究问题的步骤 

1.写出定解问题 
{泛定方程:数理方程(一般规律)定解条件:初始、边界、衔接条件(个性)  
如:y ′′ (t)−4y=0−−泛定方程 
y=C 1 e 2t +C 2 e −2t −−通解 
⎧ ⎩ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ y ′′ −4y=0y(0)=0y ′ (0)=4 }−−定解条件  

2求解 
求解方法:行波法、分离变量法、积分变换法、格林函数法、保角变换法、复变函数法、变分法 

3.分析解答:⎧ ⎩ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 物理意义适定性⎧ ⎩ ⎨ ⎪ ⎪ 存在唯一稳定   

§6.2三类数理方程的导出 

6.2.1弦的横震动 

1.物理模型: 
细长而柔软的弦线,紧绷与A、B两点之间,作振幅极微小的横震动,求其运动规律. 

2.分析: 
(1)研究的问题:u(x,t)−−弦的位移 
(2)已知:a.密度ρ(x,t)=ρ(t),重力p=0； 
b.无抗弯力 
c.张力T沿切向; 
d.u x 是小量,u 2 x ≈0 
(3)研究方法:微积分思想、任意性. 

3.建立方程: 
(1)考虑任意段,Δx受力: 
x:{−T 1 cosα 1 T 2 cosα 2   
y:⎧ ⎩ ⎨ ⎪ ⎪ −T 1 sinα 1 T 2 sinα 2 F(x+η 1 Δx,t)⋅Δx(0≤η 1 ≤1)(F是单位长度所受外力)  
(2)按牛顿运动定律写出方程 
T 2 cosα 2 −T 1 cosα 1 =0(1) 
T 2 sinα 2 −T 1 sinα 1 +F(x+η 1 Δx,t)Δx=u tt (x+η 2 Δx,t)ρΔx(2) 
(3)简化整理 
u tt =a 2 u xx +f−−弦的横震动 
其中a 2 =Tρ ,量纲:g⋅cm/s 2 g/cm =(cms ) 2  
f=Fρ −−单位质量所受力(即力密度) 
注意: 
(1)f=0称为齐次方程:u tt =a 2 u xx +f→u tt =a 2 u xx  
(2)三维波动方程:u tt =a 2 Δu+f 
(3)建立方程的步骤:A.从内部划出一小块,B.由物理规律写出算式,C.化简整理得方程 

6.2.2热传导方程 

0.热量的几个概念: 
设:Q−热量,S−面积,V−体积,t−时间,ρ−密度,T−温度,则: 
(1)比热C:单位物质,温度升高一度所需热量.C=Q(ρV)T  
(2)热流密度q:单位时间流过单位面积的热量.q=QtS  
(3)傅里叶实验定理:q=−k∂T∂n k−导热率 
热流密度与温度的下降率成正比. 
(4)热源强度F:单位时间,单位体积发出热量.F=QtV  

1.物理模型: 
截面积为A的均匀细杆,侧面绝热,沿杆长方向有温差,求热量的流动. 

2.分析: 
(1)研究的问题:u(x,t)−−温度 
(2)已知:c、ρ、k是常数;u=u(x,t)是一维问题 
(3)研究方法:微积分思想、任意性. 

3建立方程: 
(1)考虑任一Δx段在Δt时间热量情况: 
流入x面:Q 1 =−k∂u∂x | x ⋅AΔt 
流出x+Δx面:Q 2 =−k∂u∂x | x+Δx ⋅AΔt 
热源产生:Q 3 =F⋅Δt(AΔx)(设其热源强度为F) 
升温所需热量:Q=C⋅(ρAΔx)[u(x,t+Δt)−u(x,t)] 
(2)根据热量守恒定律:Q=Q 1 −Q 2 +Q 3  

(3)简化整理得:u t =Du xx +f 
其中D=kcρ ,f=Fcρ  
此即为一维的热传导方程,中子扩散,高频电流分布皆属于此类方程. 

6.2.3泊松公式 

1.物理模型: 
设在充满了介电常数ε的区域中,有体电荷密度为ρ(x,y,z)的电荷,求静电场. 

2.分析: 
(1)研究的问题:∵E ⃗ =−∇V,V−−标量势 
(2)已知:稳定场 
(3)方法:与上面方法相同 

3.建立方程: 
(1)考虑封闭曲面S中的情况 
(2)由电学中奥−高定理,有:∮ s E ¯ ⋅ds ¯ =4π⋅14πε ∫ τ ρdτ 
(通过一封闭面的静余电通量,等于该平面内所有电荷的代数和) 
(3)简化整理得:ΔV=−ρε →Poisson方程 
若ρ=0,则ΔV=0→Laplace方程 
注意: 
在稳定温度场中u t =0 
u t =DΔu+f→Δu=−fD  

§6.3定解条件 

引入定解条件的必要性: 
a.从物理的角度看:数理方程仅能表示一般性 
b.从数学的角度看:微分方程的解的任意性也需附加条件来确定 
定解条件⎧ ⎩ ⎨ ⎪ ⎪ 初始条件边界条件其它条件  

6.3.1初始条件 

1.定义: 
物理过程初始状况的数学表达式为初始条件. 
弦振动:{u| t=0 =φ(x)u t | t=0 =ψ(x)  

2.注意 
(1)整个系统的初始状况: 
弦的横震动,当t=0时 
⎧ ⎩ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ u| t=0 ={(2h/l)x(0≤x≤l/2)(2h/l)(l−x)(l/2≤x≤l) u t | t=0 =0  

杆的纵震动,当t=0时 
u| t=0 =bl x 
(2)时间t的n阶方程需要n个条件: 
如:u tt =a 2 u xx +f→{u| t=0 =φ(x)u t | t=0 =ψ(x)  
u t =DΔu+f→u| t=0 =φ(x) 
Δu=−ρε  

6.3.2边界条件 

1.定义: 
物理过程边界状况的数学表达式为边界条件 

2.三类边界条件: 
(1)第一类边界条件(Dirichlet条件) 
u| 边 =f(M,t)(已知函数) 
杆的导热问题:u| x=l =T 0 e −t  
两端固定弦横震动:u| x=0 ,u| x=l =0 

(2)第二类边界条件(Neuman条件) 
u n | 边 =f(M,t)(已知函数) 
杆的纵震动问题:一端固定,另一端单位面积受力为F(t) 
u x | x=l =F/E, 

杆的导热问题: 
a)x=l端有热量流出,热流密度为ψ(t):∂u∂x | x=l =−ψ(t)k  
b)x=l端有热量流入,热流密度为ψ(t):∂u∂x | x=l =ψ(t)k  
c)x=0端有热量流入,热流密度为ψ(t):∂u∂x | x=0 =−ψ(t)k  

(3)第三类边界条件(混合边界条件): 
(u+hu n )| 边 =f(M,t)(已知函数) 
杆的导热问题:一端自由冷却(即牛顿冷却问题) 
∵[u+hu x ] x=l =u 0 ,h=kH  
杆的纵震动问题:若一端固定,一端与弹簧相连 
u| x=0 =0,(u+Esk u x )| x=l =0 

3.注意： 
(1)区别边界条件和外源 
例:长为l的均匀杆,一端固定于x=0，在t=0时,一个沿着杆长方向的力F(单位面积上)加在杆的另一端上,求t>0时杆长各点的位移。 
u x | x=l =FE  

(2)一个边界只有一个边界条件 
例:长为l的均匀杆一端固定于以匀速v前进的撤壁上,另一端自由,突然静止,写出杆做纵震动的定解条件 
u x | x=l =0,u| x=0 =0 

(3)当f=0时,分别称为第1、2、3类齐次边界条件 

6.3.3其它条件 

1.衔接条件 
若所研究的问题由不同部分组成,相接处有衔接条件. 

杆的纵震动问题:若由两段不同材料组成,则其衔接处有 
⎧ ⎩ ⎨ ⎪ ⎪ u 1 | x=x 0  =u 2 | x=x 0  E 1 ∂u 1 ∂x | x=x 0  =E 2 ∂u 2 ∂x | x=x 0    

静电场问题:若由两种介质组成,则其衔接处有 
电势连续:u 1 | σ =u 2 | σ  
电位移矢量连续:ε 1 ∂u 1 ∂n | σ =ε 2 ∂u 2 ∂n | σ  

2.自然边界条件: 
物理问题的有限性、单值性、周期所决定的条件. 
例:(Euler)方程通解为: 
y=Ax l +B