数学物理方法 12 非线性方程

第十二章非线性方程 

12.0引言 

12.0.1为何要引入非线性方程 

1.线性,只是理想的状态,初步的近似,大多事物的本来面目,却是非线性的. 
2.现代科学技术的发展,使非线性科学占有及其重要的地位. 

12.0.2何谓非线性方程 

方程中含有未知函数和未知函数偏导数的高次项的方程. 
如,KdV:u τ +u ξ +12uu ξ +u ξξξ =0(1) 

12.0.3非线性方程的特点 

1.不满足叠加原理 
2.其定解问题一般不满足适定性; 
3.没有普遍的理论和求解方法,大多都不能求得其解析解; 
4.其解对初始条件具有敏感性(如,蝴蝶效应); 
5.其求解途径为: 
(1)解依赖于自变量的⎧ ⎩ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 幂组合{u=u(ξ)ξ=a α t β  线性组合{u=u(ξ)ξ=x+at  将偏微分方程化为常微分方程求解 
(2)通过自变量或函数变换,将非线性方程化为线性方程解 

大气对流的洛伦兹(Lorenz)方程为 
⎧ ⎩ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ x ˙ (t)=−10x+10yy ˙ (t)=28x−y−xzz ˙ (t)=83 x+xy  

12.1非线性方程的某些初等解法 

12.1.1Kirchhoff变换 

对于∇⋅[G(u)∇u]=0(1) 
若选w=∫ u u 0  G(ξ)dξ(2)−Kirchhoff变换 
则(1)→Δw=0 
证明:令w=w(u),使∇w=G(u)∇u,则(1)→Δw=0 
此时,dwdu ∇u=G(u)∇u→dwdu =G(u) 
即:w=∫ u u 0  G(ξ)dξ(2) 

例题:求解:{∇⋅[u 2 ∇u]=0u| y=0 =Ax (3) 
选:w=∫ u 0 ξ 2 dξ=13 u 3 ,则(3)→⎧ ⎩ ⎨ Δw=0w| y=0 =13 A 3 x 3   

12.1.2Cole−Hopf变换 

对于u t +uu x =δu xx (4)−Burgers方程 
若作变换u=−2δ∂lnv∂x (5)−Cole−Hopf变换 
则(4)→v t =λv xx  
证明:1.求解(4)即要求解 
ψ t +12 ψ 2 x =δψ xx (6) 
其中,ψ x =u(7) 
∵(4)→∂u∂t =∂∂x (δu x −u 2 2 ) 
由全微分存在的充要条件有: 
dψ=udx+(δu x −u 2 2 )dt 
其中⎧ ⎩ ⎨ ⎪ ⎪ ψ x =uψ t =δu x −u 2 2 =δψ xx −12 ψ 2 x   
即(4)→ψ t +12 ψ 2 x =δψ xx (8) 
2.引入变换v=g(ψ),使(8)→v t =δv xx (9) 
令v=g(ψ),则v t =g ′ (ψ)ψ t ,v x =g ′ (ψ)ψ x  
v xx =g ′′ (ψ)(ψ x ) 2 +g ′ (ψ)ψ xx  
于是(9)→ψ t −δψ ′′ (ψ)g ′ (ψ) (ψ x ) 2 =δψ xx (10) 
对比(8)和(10):−δg ′′ (ψ)g ′ (ψ) =12 →g ′′ (ψ)=−12δ g ′ (ψ) 
→g(ψ)=c 1 e −12δ ψ +c 2  
取c 1 =1,c 2 =0→g(ψ)=e −12δ ψ =v 
→ψ=−2δlnv, 

3.结论:故作变换u=ψ x =−2δ∂lnv∂x  
u t +uu x =δu xx (4)→v t =λv xx  

12.1.3相似变换 

对于∂u∂t =∂∂x [G(u)∂u∂x ](11) 
作变换⎧ ⎩ ⎨ u=u(ξ)(12)ξ=xt  √  (13)−Boltzman变换  
而称:{u=u(ξ)(12)ξ=x α t β (14)−相似变换 −自型解 
证明:对于∂u∂t =∂∂x [G(u)∂u∂x ](11) 
令{u=u(ξ)(12)ξ=x α t β (14) 则 
∂u∂t =dudξ ∂ξ∂t =βx α t β−1 u ′ (ξ),∂u∂x =αx α−1 t β u ′ (ξ) 
∂∂x [G(u)∂u∂x ]=G(u)∂∂x ∂u∂x +(∂u∂x ) 2 G ′ (u) 
=α(α−1)x α−2 t β G(u)u ′ (ξ)+α 2 x 2(α−1) t 2β ddξ [G(u)u ′ (ξ)] 
(11)→βx 2 t ξdudξ =α(α−1)ξG(u)dudξ +α 2 ξ 2 ddξ [G(u)dudξ ](11) ′  
选x 2 t =g(ξ)=ξ 2 ,即ξ=xt  √  , 
亦即(14)中选α=1,β=−12  
(11) ′ →−ξ2 dudξ =ddξ [G(u)dudξ ] 
(11)→ddξ [G(u)dudξ ]+ξ2 dudξ =0 

12.1.4行波解 

对于∂u∂t =∂∂x [u n ∂u∂x ](15) 
令{u=g(ξ)(16)ξ=x+at(17) −行波解 
则∂u∂t =adgdξ ,∂u∂x =dgdξ  
(15)→adgdξ =ddξ [g n dgdξ ] 
→u=g(ξ)={n[a(x+at)+c]} 1n   

12.1.5端迹变换 

⎧ ⎩ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ u 1 ∂F∂x +u 2 ∂F∂y +u 3 ∂E∂x +u 4 ∂E∂y =0v 1 ∂F∂x +v 2 ∂F∂y +v 3 ∂E∂x +v 4 ∂E∂y =0 (16)u i =u i (F,E)v i =v i (F,E)i=1,2,⋯  
x=x(F,E),y=(F,E)−端迹变换 
→⎧ ⎩ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ u 1 ∂y∂E −u 2 ∂x∂E −u 3 ∂y∂F +u 4 ∂x∂F =0v 1 ∂y∂E −v 2 ∂x∂E −v 3 ∂y∂F +v 4 ∂x∂F =0  

⎧ ⎩ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ u 1 ∂F∂x +u 2 ∂F∂y +u 3 ∂E∂x +u 4 ∂E∂y =0v 1 ∂F∂x +v 2 ∂F∂y +v 3 ∂E∂x +v 4 ∂E∂y =0 (16) 
证明:令J=∂(F,E)∂(x,y) =F x E y −E x F y ≠0(17) 
则可引入{x=x(F,E)y=y(F,E) (18) 
∂∂x (18):{1=x F F x +x E E x 0=y F F x +y E E x   
→⎧ ⎩ ⎨ F x =y E x E y E −x E y F  =y E j E  =Jy E E x =−Jy F  (19) 
j=∂(x,y)∂(F,E) =J −1 ≠0 
∂∂y (18):{F y =−Jx E E y =Jx F  (20) 
(19),(20)代入(16): 
⎧ ⎩ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ u 1 ∂y∂E −u 2 ∂x∂E −u 3 ∂y∂F +u 4 ∂x∂F =0v 1 ∂y∂E −v 2 ∂x∂E −v 3 ∂y∂F +v 4 ∂x∂F =0  

12.1.6小结 

1.∇⋅[G(u)∇u]=0→Δw=0,若选w=∫ u u 0  G(ξ)dξ−Kirchhoff变换 
2.对于u t +uu x =δu xx →v t =λv xx  
若作变换u=−2δ∂lnv∂x −Cole−Hopf变换 
3.∂u∂t =∂∂x [G(u)∂u∂x ]→ddξ [G(u)dudξ ]+ξ2 dudξ =0 
若令u=u(ξ),ξ=xt  √  −相似变换 
4.∂u∂t =∂∂x [u n ∂u∂x ]→u=g(ξ)={n[a(x+at)+c]} 1n   
[u=g(ξ),ξ=x+at]−行波法 
5.⎧ ⎩ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ u 1 ∂F∂x +u 2 ∂F∂y +u 3 ∂E∂x +u 4 ∂E∂y =0v 1 ∂F∂x +v 2 ∂F∂y +v 3 ∂E∂x +v 4 ∂E∂y =0  
x=x(F,E),y=(F,E)−端迹变换 
→⎧ ⎩ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ u 1 ∂y∂E −u 2 ∂x∂E −u 3 ∂y∂F +u 4 ∂x∂F =0v 1 ∂y∂E −v 2 ∂x∂E −v 3 ∂y∂F +v 4 ∂x∂F =0  

§12.2孤波和孤子 

12.2.1KdV方程 

1.孤波的起源: 
孤波:单峰行进,常速,波形不变. 
1895年:荷兰的Kortweg & de Vries观察浅水沟中水波,总结得KdV方程:
u tau +u ξ +12uu ξ +u ξξξ =0 

2.孤波解: 
u tau +u ξ +12uu ξ +u ξξξ =0(1) 
令{u=u(θ)(2)θ=aξ−ωτ+δ(3)  
其中,a−常数,δ−相位因子,u (n) −−→ |θ|→∞ 0(n=1,2,⋯) 
则u τ =−ωu θ ,u ξ =au θ ,u ξξξ =a 3 u θθθ , 
−ωu θ +au θ +12auu θ +a 3 u θθθ =0 
(1)→u θθθ +12a 2  uu θ −ω−aa 3  u θ =0 
取ω=a+a 3 ,(1)→u θθθ +12a 2  uu θ −u θ =0(4) 
∫(4)dθ:∫ddθ u θθ dθ+12a 2  ∫udu−∫du=0 
即u θθ +6a 2