PKUSC 2018 游记

General Introduction

PKUSC：Peking University Summer Camp，北京大学夏令营。

嗯对的，以前我连 SC 是什么意思都不知道，我太弱啦！

Day -2 ~ Day -1

唉，我太弱了，THUSC 直接被拒绝了，还好意思说等我来，我怎么来？？？老虎都上清华了，我还在家里玩泥巴，唉，我太弱啦！

但是 PKUSC 让我过啦！听说 PKU 比 THU 尊重人，不会不给协议。但是就我这水平，我觉得 NOI 前 100 降 10 分这种协议应该是稳了，谁叫我连去 NOI 的资格都没有呢？

于是做题吧，唉，垫了两天底，大家都 A 了，就我一个暴力都打了好久，唉，我太弱啦！

Day 0

啊酒店居然是圆床房，真的是太强啦！Day 1 考数学，复习些什么好呢？想到自己连 CDQ 分治都不会，赶紧去学了一波。唉，我太弱了，做了好几个小时才做了两道傻逼题，第二道想了半天才明白什么要用小于号——当然，你们是不知道我在说什么的，毕竟我又不公开我的笔记。唉，我太弱了，大佬们都在笔记本上记笔记，就我一个用 Markdown，尽写些傻逼问题，唉，我太弱啦！

Day 1

上午

啊上午考数学，什么都不会诶。

题目

（欢迎补充，欢迎纠正（顺序好像都是错的，我太弱啦！））

1

因式分解：

$$bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b)$$

2

这道题我读错了，下面是我听犇犇说的，仅供参考

有 $n$ 个数，两两的乘积为 $1$。现在删去一个数，求证：一定存在一种删数方案，使得剩下的数之和不超过 $\sqrt{2}$。

3

正整数 $n$ 满足：

$$(1+i{)}^n=(1-i{)}^n$$

求 $n$ 的取值。

4

一个环形高速公路，上面有一些加油站，所有加油站的油量够你的车绕着跑一圈了。现在你从一个加油站出发，当你到达（路过）一个加油站时，你就用原力拿走那里的所有油。求证：一定存在至少一个加油站，使得你从那里出发能够不因缺油而停下地绕高速公路一圈。

5

求 $2\sqrt[3]{2y-1}=y^3+1$ 的所有实数解。

6

已知 $m$ 是大于 $2$ 的正奇数，求使得下式成立的最小的 $n$（听说试卷上写的是自然数？？？）：

$$2^{2018}\mid m^n-1$$

7

求：

$$4\arctan (\frac{1}{5})-\arctan (\frac{1}{239})$$

8

在三角形内有一点，过该点引三条与三角形三边平行的直线（显然这三条直线把三角形分成了 $6$ 个区域）。形成的三个小三角形的面积为 $S_1$，$S_2$，$S_3$（画图）。求原三角形面积。

9

求正 $n$ 棱锥的内切球体积。（应该要给个 $a$ 和 $h$ 吧？）

10

有 $2k+1$ 个一位的二进制数。你只能询问一次得知某两个相等或者不等。问最少要多少次询问才能够指着一个数对它说：和你相同的数超过半数（即算上它后至少有 $k+1$ 个）。

下午

我凉了啊，除了复数那道题我感觉我是对的外，其它的我都不会做了，唉，我太弱啦！

啊下午考机试。两个小时后，我发现我 $55$ 分稳了。然后猜测 T2 做法，无果。回去看第一题优化暴力，无果。后来发现 T1 哪里需要写循环啊，不就是一个组合吗？非要写成两个组合数相乘，唉，我太弱啦！然后继续猜 T2 做法，居然有 $60$ 分了。把输出的数的符号改成正的就过了，不过到现在我都不知道怎么过的。此时已经只有 $20$ 分钟了，但我完全不会斗地主主斗地，这为我垫底奠定了基础。

出来一问，“你多少啊？”“230。”“你多少啊？”“230。”“你多少啊？”“230”……

大家都 230，就我一个 200，听说还有人 AK，唉，我太弱啦！没学上了！

题目

1. 真实排名

2. 随机算法！

3. 主斗地

Day 2

上午

诶今天面试，准备些什么好呢？想到自己连普通话都不会，赶紧去写了一篇英文自我介绍。结果听说只有 213 教室才有英文自我介绍，但我是全程一楼，感觉爽歪歪。

果然不来什么都不知道啊！这个面试跟脑补的面试完全不一样，分三轮进行，每轮只有一位老师，限时五分钟。不同的老师，风格那真的叫做完全不一样。

“请说说你的名字是什么意思。”

“你对 PKU 印象最深的是哪一点？”

“请在黑板上随便写个字我看看。”

还有直接聊天问 OI 生涯的，对我说了一句：“唉，你好可惜啊”。唉，谁叫我这么弱呢？

我应该算运气不错的吧，虽然表现十分糟糕，但是我走得早啊！但是我没有遇到神奇的问题啊！听别人说，还有问以下问题的：

“你想学软件还是硬件呢？”“软件。”（似乎是硬件老师）“硬件也不错啊！”

“你有女朋友吗？”

反正就是，要是你听了去考自主招生的人的话，那你铁定完蛋了。

下午

唉，我太弱了，下午被翻盘了，$45+40+0=85$，真的没学上了。

考完后我问，你们多少分啊？

“200。”“200。”“200。”……“唉心态崩了 T3 Rush 了一波搞了 3 小时才 A。”“诶 lyx 又 AK 啦！”……

唉，我太弱了，这次真的是做不来，分明感觉自己什么题都没有做过，还有一个月就 NOI 了，就算我 D 类过了，也怕是连铜牌都拿不到。要是我早生几年就好了，NOI 2015 我能做 4 题，但 NOI 2017 我 T1 都做不来，唉，我太弱啦！

题目（回忆版）

1. 做不来

数轴上有 $n$ 个星球，第 $i(1\le i\le n,i\in {\mathbb{N}}^{\ast })$ 个星球的在坐标 $i$。对于第 $i(i\ge 2)$ 个星球，$[l_i,i-1](l_i\le i-1)$ 与它都有一条边权为 $1$ 的双向通道。定义 $dist(i,j)$ 表示 $i$ 到 $j$ 的最短路。有 $q$ 个询问，每个询问给定三个整数 $l$，$r$ 和 $s$，求：
$$\frac{1}{r-l+1}\sum _{i=l}^{r}dist(s,i)$$

$n,q\le 3\times 10^5$。

Limited constraint:

1. $n\le 100$。
2. $n\le 2000$。
3. $n\le 5000$。

2. 来不做

给你一个由 $01?$ 三个字符组成的字符串 $s$，其中 $?$ 可以随意替换成 $0$ 或者 $1$。定义概念 border：对于字符串 $s$，若它的前 $i$ 个字符构成的字符串等于它后 $i$ 个字符串，则称 $s$ 长度为 $i$ 的前缀是 $s$ 的一个 border。这个概念跟平时的 border 基本一致，唯一不同的是，$s$ 本身也算 $s$ 的一个 border。

定义函数 $f_s(x)$。若 $s$ 存在一种问号的替换方案（要把所有 $?$ 替换成 $0$ 或 $1$）使得长度为 $x$ 的前缀是它的 border，则 $f_s(x)=1$，否则 $f_s(x)=0$。

求：
$$\underset{i=1}{\overset{|s|}{⨁}}{f}_s(i)\times i^2$$

$|s|\le 5\times 10^5$。

Special Instance or limited constraint：

1. $|s|\le 10^3$。
2. 没有问号。
3. 数据 真·随机。
4. 非问号的字符不超过 5000（听说是关键提示，然而我并不懂是什么意思）。

3. 不来做

在平面直角坐标系中，有 $n(n\le 200)$ 个点，叫做敌人；有一个由 $m(m\le 500)$ 个点组成的简单多边形，叫做攻击多边形。严格在这个多边形内的敌人将会被消灭。

现将这个多边形随机地绕原点旋转，求旋转后被消灭的敌人个数的期望值。

提示：对于一个敌人，他能够被消灭的概率等于 $\frac{p}{2\pi }$，其中 $p$ 表示能够使得他被消灭的旋转角度区间的总长度。

Special Instance or limited constraint:

1. $n,m\le 15$。
2. 攻击多边形为凸多边形。

Day 3

终于到了发协议的时候，果然我拿了一个没用的：前五十一本，前一百 30，前一百五 20。唉，谁叫我连 D 都申请不到呢？当我好不容易比别人分高一点点时，才发现别人才初三。当我被虐了 200 分时，才发现，虐我的人还是初三。可能这就叫作正弦波的叠加——一切都是命中注定了。

一年 OI 一场空，没错，我早就高二了，但还在玩泥巴。

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在临走前，我得到了一本数竞的书《圆》，显然，这个东西是不可能考的——毕竟 SC 是信息学体验营，不是数学体验营。虽然我看不懂正文，但这本书的前言让我印象犹为深刻。

（作者的一位朋友）中豪之所以显示出强大的研究能力而不狂妄自大，正是因为他善于学习很多我们不了解的牛人的工作。
很难想象，一个不善于学习而自恋的人、一个不愿意为与高手交流的急功近利的人，能取得什么真正的成就。
老外搞体育、IT 这些“年轻人的游戏”，中国人的论资排辈不太好使；数学也应该主要属于年轻人，很可惜也容纳了不少混混，文科就不谈了。
认识中豪之后，我还感到搞几何需要极为丰富的想象力，更甚于诗歌创作。
即使是奥数，也很遗憾地被公众们看成是和数独、24 点和速算属同类，这种观念不指望能有改变。
有谁会认为 24 点或数独高手是未来数学家的苗子呢？

共勉。