1. 前言
机器学习中常常将具体的问题抽象为数学表达,再通过最优化算法求取相关参数的最优值。其中最常用的便是基于梯度的优化算法。则可以将其总结为批量梯度下降法(BGD)、随机梯度下降法(SGD)、小批量梯度下降法(MBGD),本文也将从这几个方面进行解释。
首先,定义决策函数为:
yθ=∑i=1mθxi y θ = ∑ i = 1 m θ x i
则可以将损失函数定义为如下形式:
L(θ)=1m∑i=1m(yi−yθ(xi))2 L ( θ ) = 1 m ∑ i = 1 m ( y i − y θ ( x i ) ) 2
者就是求取最优值的问题,那么采用的算法一般为前面提到的方法。
2. 批量梯度下降法(BGD)
批量梯度下降法(Batch Gradient Descent,简称BGD)是梯度下降法最原始的形式,它的具体思路是在更新每一参数时都使用所有的样本来进行更新,其数学形式如下:
(1) 对上述的能量函数求偏导:
∂L(θ)∂θj=−1m∑i=1m(yi−yθ(xi))xji ∂ L ( θ ) ∂ θ j = − 1 m ∑ i = 1 m ( y i − y θ ( x i ) ) x i j
(2) 由于是最小化风险函数,所以按照每个参数θθ的梯度负方向来更新每个
θ θ :
θ‘j=θj+1m∑i=1m(yi−yθ(xi))xji θ j ‘ = θ j + 1 m ∑ i = 1 m ( y i − y θ ( x i ) ) x i j
从上面公式可以注意到,它得到的是一个全局最优解,但是每迭代一步,都要用到训练集
所有的数据,如果样本数目
m m 很大,那么可想而知这种方法的迭代速度!所以,这就引入了另外一种方法,随机梯度下降。
优点:全局最优解;易于并行实现;
缺点:当样本数目很多时,训练过程会很慢。
下面是之前Softmax使用该下降算法得到的求解参数变化曲线:
3. 随机梯度下降法(SGD)
由于批量梯度下降法在更新每一个参数时,都需要所有的训练样本,所以训练过程会随着样本数量的加大而变得异常的缓慢(需要更多的迭代次数)。随机梯度下降法(Stochastic Gradient Descent,简称SGD)正是为了解决批量梯度下降法这一弊端而提出的。
将上面的损失函数写为如下形式:
L(θ)=1m∑i=1m(yi−yθ(xi))2=1m∑i=1mcost(θ,(xi,yi)) L ( θ ) = 1 m ∑ i = 1 m ( y i − y θ ( x i ) ) 2 = 1 m ∑ i = 1 m c o s t ( θ , ( x i , y i ) )
cost(θ,(xi,yi))=12(yi−yθ(xi))2 c o s t ( θ , ( x i , y i ) ) = 1 2 ( y i − y θ ( x i ) ) 2
利用每个样本的损失函数对θθ求偏导得到对应的梯度,来更新
θ θ :
θ‘j=θj+(yi−yθ(xi))xji θ j ‘ = θ j + ( y i − y θ ( x i ) ) x i j
随机梯度下降是通过每个样本来迭代更新一次,如果样本量很大的情况(例如几十万),那么可能只用其中几万条或者几千条的样本,就已经将theta迭代到最优解了,对比上面的批量梯度下降,迭代一次需要用到十几万训练样本,一次迭代不可能最优,如果迭代10次的话就需要遍历训练样本10次。但是,SGD伴随的一个问题是噪音较BGD要多,使得SGD并不是每次迭代都向着整体最优化方向。
优点:训练速度快;
缺点:准确度下降,并不是全局最优;不易于并行实现。
下面是之前Softmax使用该下降算法得到的求解参数变化曲线,可以很明显看到曲线的震荡:
4. 小批量梯度下降法(MBGD)
有上述的两种梯度下降法可以看出,其各自均有优缺点,那么能不能在两种方法的性能之间取得一个折衷呢?即,算法的训练过程比较快,而且也要保证最终参数训练的准确率,而这正是小批量梯度下降法(Mini-batch Gradient Descent,简称MBGD)的初衷。
下面是之前Softmax使用该下降算法得到的求解参数变化曲线:
![机器学习中的梯度下降算法(BGD,SGD,MBGD)_第3张图片](http://img.e-com-net.com/image/info8/119c044531cb457492a1d1341d3b3803.jpg)
5. 总结
(1)BGD:使用全部的样本进行目标参数更新,空间消耗大
(2)SGD:每次使用1个样本进行目标参数更新,需要迭代次数多
(3)MBGD:每次使用batch个数据进行目标参数更新
6. 参考
- 梯度下降法的三种形式BGD、SGD以及MBGD
- 实现demo可以参考本人Git网址