近世代数第一章总结

对近世代数或抽象代数最开始的认识，是以前听过的群论。记得解群论的题目都会画一些图，一直觉得群论是一种将代数图形化的很高端的东西。不过如今正式开始学的时候，才发现…第一章似乎有点无聊。不过经过短暂的总结，嗯…也是有点意思。
上课的时候，老师说“高等微积分”、“高等代数”、“高等几何”为主体的，为50年代数学教学的老三高，而现在的“新三高”，即抽象代数、拓扑学和泛函分析。
代数数学中的一门分支，大体可分为初等代数和抽象代数。
初等代数学是指19世纪上半叶以前发展的方程理论，主要研究某一方程〔组〕是否可解，如何求出方程所有的根〔包括近似根〕，以及方程的根有何性质等问题。
法国数学家伽罗瓦，一般称他为近世代数的创始人。他使代数学由作为解方程的科学转变为研究代数运算结构的科学，即把代数学由初等代数时期推向抽象代数即近世代数时期。
近世代数，由群论，发展到域论，再到环论，研究对象从研究代数方程根的计算与分布进而研究数字、文字和更一般元素的代数运算规律和各种代数结构。发生了质的变化。由于抽象代数的一般性，它的方法和结果带有基本的性质，因而渗入到各个不同的数学分支。感谢那些陪代数一起过来的科学家们…
似乎所有的代数都是从集合论开始的。那么第一章，我们就来谈一谈集合论。
1、元素属于（不属于）集合与集合包含（不包含）另一集合的区别。
2、子集、真子集；集合的运算（交、并、差、补、布尔和、卡氏积）。
（1）集合的布尔和（对称差）：
A⊕B={x |x∈A或x∈B但x∉A∩B}=(A-B)∪(B-A)=(A∪B)-(A∩B)
（2）集合的卡氏积：
AXB={ (a,b) |a∈A且b∈B}
AXB中的元素可看成由A和B坐标轴所张成的平面上的点。
（3）卡氏积的推广：
令A_1 A_2 ,…,A_m是m个集合，那么由它们做成的卡氏积为
∏_(i=1)^m=A_i =AXA_2 X…XA_m=
{(a1,a2,…,am )| ai∈Ai,i=1,2,…,m}
（4）对于集合运算的公式，之前没看过的是吸收律：
A∪(A∩B)=A A∩(A∪B)=A
3、映射的定义，象、逆象、单射、满射、双射。
（1）双射（一一对应）
若f既是单射又是满射，则f是双射。

4、代数运算（包括AXB到D 和AXA到A）
（1）设给定A1XA2X…XAm到D的映射 f： A1XA2X…XAm→D，
如果n=2时，f就叫做代数运算。一般地有
定义7：任一个AXB到D的映射都叫做AXB到D的一个代数运算。
（2）代数运算表：当A，B都是有限集时，那么AXB到D的每一个代数运算都可以用运算表表示。
（3）若 的代数运算，则可称 是 的代数运算或称 对 是封闭的。
（4）赋予一个集合代数运算后，犹如使一潭死水泛起了波澜，好比对这集合赋予了生命。
5、结合律，交换律和分配律
（1）如果A的代数运算 。满足结合律，那么对于A的任意n(n>=2)个元素a1,a2,…,an来说，所有加括号的步骤运算的结果总是唯一的，因此，这一唯一的结果就可用a1。a2。…。an来表示。
（2）设 的代数运算 同时满足结合律和交换律，那么a1。a2。…。an中的元的次序可以任意掉换。
（3）分配律分为了第一分配律（左分配律）和第二分配律（右分配律）
6、使用数学归纳法对交换律、结合律等的定理进行证明
（1）[论证思路]
因n是有限数，所以加括号的步骤必是有限的。
任取一种加括号的步骤π(a1。a2。…。an)，往证：
π(a1。a2。…。an)=a1。(a2。…。an)
对 用数学归纳法。
① π(a1。a2。…。an)=b1。b2
② b1和b2分别是i和n-i个元素经加括号而运算的结果.
③ i<=n-1, n-i<=n-1，由归纳假设释之.
（2）[论证思路]
采用数学归纳法，归纳假设n-1时命题成立.
对n的情形，任掉换ai的位置，使之成为ai1。ai2。…。ain .
注意i1,i2…,in是1,2,…,n的一个排列. 令 ik=n.
用结合律和归纳法假设证明之.
（3）对于数学归纳法的思想，在这里关于运算律定理的证明体现了很多，可以感受一下…
7、在判断代数运算是否满足这些性质时，怎样使用运算表？
8、了解双射（一一映射）的特性 ，引导出逆映射。
（1）对于有限集来说，两个集合之间存在双射（1-1对应）的充要条件是它们所含元素个数相同。
对于有限集M及其真子集M’之间不可能存在双射；但对于无限集未必如此。
即一个无限集与其的某个真子集一样“大”。可作为无限集都有的特性。
（2）设 φ是A 到A-到 的一个双射，那么由φ可诱导出（可确定出） A 到A-的一个双射φ^(-1)（通常称φ^(-1)是φ的逆映射）
9、两个代数系统的同态的概念，尤其是同态的满射所具有的性质。
（1）变换：设φ:A→A是映射，那么习惯上称为是A的变换。
当φ是双射（单射，满射）时，也称φ为一一变换（单射变换，满射变换）
（2）同态映射：设集合A,A-都各有代数运算 ∘,∘-（称{A，∘}及 为{A-，∘-}代数系统）而φ:A→A-是映射，且满足下面等式：
∀a,b∈A,φ(a∘b)=φ(a) ∘- φ(b)
（习惯上称φ可保持运算）
那么称φ是A 到A-的同态映射。
（3）同态：若φ是{A，∘}到{A-，∘-}的同态满射，那么习惯上称A与A- 同态，并记为A～A-；习惯上称A-是A的同态象.
（4）如果φ是{A，∘}到{A-，∘-}的同态满射，那么
●若∘满足结合律 ，∘-也适合结合律；
●若∘满足交换律 ，∘-也适合交换律.
10、掌握同构映射的实质
（1）同构：设φ是{A，∘}到{A-，∘-}的同态映射，若φ是个双射，那么称φ是同构映射，或称A与A-同构，记为A≅A- 。
（2）设φ是{A，∘，+}到{A-，∘-，+-}的同构映射，那么
●“∘”适合结合律 “∘-”也适合结合律；
●“∘”适合交换律 “∘-”也适合交换律；
●“∘”和“+”满足左（右）分配律 “∘-”和“+-”满足 左（右）分配律。
（3）凡同构的代数体系都认为是（代数）相同的。
（4）在上述的观点下，一个代数体系经同构映射而保持不变的性质叫做它的代数性质。于是，由代数运算所表述的任意一个性质都是代数性质。我们将代数体系的代数性质的总合统称为它的代数结构。因此，同构的代数体系有完全相同的代数结构。研究代数体系的首要目的就是确定所有互不同构的代数体系以及它们的代数结构。而为了确定一个代数体系的代数结构，只须让它与一个代数结构已经清楚的代数体系同构则可。
（5）映射是两个集合之间建立联系的一种方法，利用这种联系来对两个集合进行比较，通过这种比较就能由一个集合的性质去推测另一个集合可能有的性质。除了这种认识事物的方法之外，有时也要把一个集合分成若干个子集，对各个子集进行分门别类地研究或者对某些特殊的子集加以讨论，这种讨论有益于对原来的集合的研究。这种以局部到整体地认识事物的方法，在高等代数中已屡见不鲜，而在近世代数中更是不可缺少的，甚至是无处不有的。以下引出集合进行分类的一般原则——等价关系。
11、“集合分类”的定义（尤其是分类的三大特点）。
（1）设A为任一个集合，而Ω是A的一些子集组成的集合， 其中Ω={Ai⊆A | i∈I}是指标集，如果
● Ai≠∅ i∈I
● Ai∩Aj = ∅ i,j∈I 且 ∀ i≠j
● A=⋃(i∈I) Ai
则称Ω是A的一个分类而Ω中每个元素Ai都叫做A在Ω下的一个类。
（2）注意：可以看出，对每一个确定的分类Ω来说，凡是分在同一类里的元素都具有某种共同的性质，而分在不同类的元素所具有的这种性质也必不同。
12、集合上的关系及等价关系
（1）关系：设A为集合，D={对，错}，那么AXA到D的每个映射R就叫做A的一个关系.（也称为二元关系）
若R:(a,b)→对，就称a与b符合关系R，记为 aRb
若R:(a,b)→错，就称a与b不符合关系R，记为 aR-b
（2）等价关系：设～是集合A上的二元关系，如果～具有以下三种性质：
●反射律（反身性）： ∀a∈R , a～a
●对称律（对称性）： ∀a,b∈R , 当 a～b 时必有 b～a ；
●推移律（传递性）： ∀a,b,c∈R , 当 a～b 且 b～c 时，
必有 a～c 。那么关系～叫做A上的等价关系。并且当a～b时，习惯称a与b等价。
13、上述两个概念的相互转化问题。
（1）集合A的每个分类都决定了A的一个等价关系。
（2）集合A的任一个等价关系～都可确定A的一个分类。
（3）若先有A的一个等价关系～1，由～1确定的分类若为Ω1时，那么用定理1由确定的等价关系～2有～1=～2。
（4）若先有A的一个分类Ω2，由Ω2确定的等价关系是～2，那么用定理2，由～2确定的A的分类若为Ω3时，则 Ω2=Ω3 。
14、一个重要的实例——模 的剩余类集合。
如设整数集 Z={…,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,…}，并令
A0={n∈Z | n=4q, q∈Z}
A1={n∈Z | n=4q+1, q∈Z}
A2={n∈Z | n=4q+2, q∈Z}
A3={n∈Z | n=4q+3, q∈Z}
这就是近世代数第一章的内容，和高代的集合论那一块有很多的相似之处。集合论学起来时枯燥，不过当你再总结一遍的时候还是会觉得有点意思的，哈哈。
被markdown的数学公式编辑器弄晕…
咦…结束了

来一发相关的英文单词
近世代数 modern algebra ; 高等代数 advanced algebra
拓扑学topology ；泛函分析 functional analysis
群论 group theory ; 域论 field theory ; 环论 ring theory
方程 equation
集合论 set theory ; 真子集 proper subset ; 子集 subset
布尔 Boole ; 布尔和 Boolean sum
卡氏积 cartesian product
映射 map ; 逆映射 inverse mapping
双射 bijection ; 满射 surjection
一一对应 one-to-one correspondence
代数运算 algebraic operation
交换律 commutative law ; 结合律 associative law
分配律 distributive law
数学归纳法 mathematical induction
同态 homomorphism ; 同态映射 homomorphic mapping
同构 isomorphism ; 同构映射 isomorphic mapping
等价关系 relationship of aquivalence
分类 classification
反身性 reflexivity ; 对称性 summetry ; 传递性 transitivity
剩余类 residue class