理解Fourier变换,Laplace变换和Z变换的几个基本点

最近学习数字信号处理，重新复习了一下高数, 摘录几个基本要点以备忘：

0.  一切平面域的函数均可以转换到圆周域上, 深刻理解自然界的圆.

1.   一切源于cosθ和sinθ的正交性,   即cos(m*θ)*sin(n*θ) 在周期内积分，仅当m=n时为非零。

2.   只有cosθ和sinθ同时表达才能唯一确定θ的值, 复数cosθ+isinθ自然产生。

3.   欧拉公式e^(iθ)=cosθ+isinθ 简化了复数的表达和运算.

4.  任何具有周期波动特性(非周期可以看成无限周期的特例) 的函数均可以由 e^(at) 和 e^(iθt) 两个基本函数拟合。

5.   Fourier的实质是用利用cosθ和sinθ的正交性在频域上进行周期内积分, 梳出对应频率上的幅数和相位。

6.   考虑到Fourier变换的可积条件，Laplace用e^(at)对原e^(iwt)变量进行贴补，反映了贴补后变量s=ae^(iθ)对Fourier变换的影响, 

7.  从振动物理模型上理解,  s=ae^(iθ)实际上是响应函数的一般形式，即线性微分方程的一般解形式。

8.  一般形式的常系数微分方程( 信号与系统  -Oppenheim):

             

    两边应用Laplace变换,应用线性和微分性质可得:

                                             

即：

                                           

9.   线 性时不变系统常系数差分方程一般形式:

                                            

   两边应用z变换,并应用线性和时移特性可得:

                                            

即

                                            

10.  Z变换是Laplace变换的离散形式, Z变换将差分方程常系数和系统函数联系了起来。

11. 通过对函数拟合或模拟公式得到的h(x)进行Z变换, 最终可以解得差分方程的系数, IIR和LIR等滤波差分方程可以由此实现.