空间坐标变换的矩阵表示法

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图8.1.1-1

所谓空间坐标变换(coordinate transform)，就是指空间任意点P在两个空间右手直角坐标系oxmymzm和oxnynzn中的坐标关系。     图8.1.1-1所示两个空间直角坐标系oxmymzm和oxnynzn（以下简称m坐标系和n坐标系）的原点重合于o点，称为共原点的两个坐标系。假设开始两坐标系的三个坐标轴分别重合，然后其中一个坐标系绕其中一个轴或两个轴转动。现分以下三种情况进行讨论。

n坐标系绕z轴逆时针转过q角。
图8.1.1-2	P点由n坐标系变换到m坐标系的坐标变换关系为	(8.1.1-1) 为便于理解式(8.1.1-1)，现将图中xy平面内的坐标关系展开 在左图中。   由图中几何关系可知
	用矩阵的形式表达为	(8.1.1-2)
	式(8.1.1-2)可简写为	(8.1.1-3)
式中rm和rn为同一点P分别在两坐标系中的坐标列阵，即                              Cmn为3×3方阵，即
8.1.1-4)
方阵符号Cmn的右下注脚mn表示该方阵是由n坐标系变换到m坐标系的变换矩阵。方阵Cmn中的每一个元素都是如表8.1.1所列相应两轴夹角的余弦，称方向余弦，故该方阵称为方向余弦矩阵(orientation cosine matrix )。相应两轴夹角的余弦： 如方阵第1行、第2列的(-sinq)可写成cos(90º+q)，其中(90º+q)即为xm轴与yn轴的夹角，参见图8.1.1-1所示。

表8.1.1

	xn	yn	zn
xm	cos(xm, xn)	cos(xm, yn)	cos(xm, zn)
ym	cos(ym, xn)	cos(ym, yn)	cos(ym, zn)
zm	cos(zm, xn)	cos(zm, yn)	cos(zm, zn)

根据运动相对性原理，图8.1.1-1所示两坐标系的相对位置关系，也可看作n坐标系相对不动，由m坐标系绕zm轴转过(-q)（即顺时针方向）角的结果。这样仿照式(8.1.1-3)可写出                                           (8.1.1-5) 再用(-q)代换式(8.1.1-4)中的q可得                                (8.1.1-6)     方阵符号Cnm的右下注脚nm表示该方阵是由m坐标系变换到n坐标系的变换矩阵。         比较式(8.1.1-4)和式(8.1.1-6)可见，Cmn和Cnm既互为逆阵，又互为转置矩阵。这样就便于由其中一个方阵求得另一方阵（前者的逆阵）。

如图8.1.2-1所示，坐标系onxnynzn对omxmymzm相对位置的坐标变换，除了相对转动外，还有坐标系原点的相对移动，故属于不共原点的空间一般坐标变换。

图8.1.2-1

设n坐标系原点on在m坐标系中的坐标为，而on的移动可用向量表示。因此，空间任意点P在两坐标系中的坐标关系式变为 (8.1.2-1) 式中则为on在m坐标系中的坐标列阵，即 (8.1.2-2)

图8.1.2-2

同理可写出P点由m坐标系转换至n坐标系的坐标变换关系式。     在空间连杆机构中常用的坐标变换如图8.1.2-2所示。两坐标系的相对位置是：xn轴同时垂直于zn和zm两轴，ln为zm和zn两轴间的最短距离，垂足至原点om的距离为sm。      两坐标系是如何进行变换的呢？

图8.1.2-3

可设想坐标系onxnynzn与omxmymzm原来是重合的，如图8.1.2-3所示。   1)首先使坐标系onxnynzn沿zm轴正向平移一段距离至位置。    2)接着n坐标系在点进行共原点的坐标轴转动至位置，并同最终所需的方位xn，yn，zn一致。   3)最后沿xn轴正向平移ln距离，到达图8.1.2-2所示的onxnynzn位置。

上述坐标变换过程可简记如下

图8.1.2-4	由图8.1.2-4知，从om点出发，建立空间任意点P的向量关系式为             即可写出由n坐标系变换到m坐标系的P点坐标变换式为 (8.1.2-3)
同理，根据运动相对性原理，也可设想n坐标系相对不动，得出m坐标系变换到n坐标系的P点坐标变换式。  m坐标系变换到n坐标系的P点坐标变换式：    设想坐标系omxmymzm与onxnynzn原来是重合的。首先使坐标系onxnynzn沿xn轴负方向平移ln距离,接着在点进行共原点的坐标轴逆转动，使各轴方向与xm，ym，zm的方向一致。最后再沿zm轴的负方向平移sm距离，到达图示的omxmymzm位置。     由此可写出m坐标系变换到n坐标系的P点坐标变换式

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