卷积与采样还原、滤波器的联系（应用篇）
转载自：http://blog.sina.com.cn/s/blog_7445c2940102wmke.html
说明：文章只用于学习分享记录，不涉及任何利益。
本文重点关注卷积的作用或者说应用，从对应用的了解逐步揭开卷积这个数学工具的神秘面纱，以加深对卷积的理解。因此，在阅读本文的之前需要对卷积有一定的了解。幸运的是，网上已经有很多大神对卷积进行了生动形象的描述，详尽的介绍了卷积运算过程等。当然，本文也借着知乎上的例子说明了卷积的含义。
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对于大部分工科的学生，应该都会或多或少的接触到卷积这种数学运算。它是在信号系统里首次给出定义的，之后卷积被应用到各个领域之中，都取得了不小的成就（要不然也不用仔细研究了。同时也可以看出来数学强大的辐射能力）。第一次接触卷积，是在信号与系统这门课中，当时的感觉总结一个字，那就是晕。不过好在，考完了就不用了。后来，在学习图像处理的课程中，又了解到卷积可以进行图像滤波，但是这个卷积运算感觉跟之前学的完全不一样啊。不过好在，考试不考。再后来，由于课题原因，我就一直纳闷滤波器和系统脉冲响应到底是神马关系，长得完全一样，为毛叫法不一样。不过好在，我心大。自此，我一直对卷积的感觉就是一堆离散的点，没有真正的理解卷积的含义。为了要更深入的了解卷积，我就在网上搜索卷积的含义，卷积的物理意义。附上一篇如知乎上的一篇文章：
https://www.zhihu.com/question/22298352
但这些文章里面，都是讲的卷积在信号系统里的含义，并没有给出卷积的真正含义或者说物理意义。直到前两天无意间看到一篇文章：
http://www.fseraph.com/?p=260
看完之后，我大受启发，突然感觉这些离散的点连成了线。原来，卷积的真实含义就是一种数学运算，没有物理意义。只有将卷积放到具体的场景中，它才有所谓的物理意义。这才发现之前问的问题是多么天真，就好像在问乘法的物理意义。现在想想，要想理解一个抽象的概念，一定要将它放到多个具体的环境中，从多方面的观察，再总结抽象回概念。经过这个过程，就会对概念有了进一步的理解。不要指望通过一个方面就能了解到它的内涵。从科学上讲，只通过一次观察，就得到的结果，一定是存在误差的。
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下面进入正题，到底什么是卷积呢？
1.卷积是什么？
那么，首先要为什么会需要卷积运算呢？
参考知乎文章中被打的例子（干嘛要被打，还是打别人吧，哈哈）。假设，有一个人每天都希望你打他一巴掌。而你由于身体状况，每天打的力度是不一样的，那么他感受到的疼痛也就是不一样的，即x(t)。那么请问，这个人在第t天，感受到的疼痛感是多少，即求y(t)。显然，我们只需要要把每天感受到的疼痛加起来就可以了，也就是一个叠加的过程。
上述计算中，有一个潜在的前提，就是无论在什么时候打的他，他在第t天能感受到的疼痛感是一样的，这显然是不符合常识的。真实情况一定是，离t天越近的感受到的疼痛也就越强烈。那么，在这种情况下，我们就需要给每天感受的疼痛感增加一个权重，当天的权重最高，越远的权重越小。于是，在第t天感受的疼痛就是：
上面的公式其实就是卷积公式。等等，那么为什么看着跟书上不一样呢？因为，在这里我采用的是同向标号，而书上的卷积公式采用的是逆向标号。那么，这两个有什么区别么？从计算上讲，这两种是没有区别的，只不过是定义下标不同而已，如下：
但是，从下标的定义上讲就不一样了。同向定义中，下标的含义是某一天的权重。假设，在第t天感受第t天的疼痛权重为1，感受t-1天权重为0.5。那么到了第k+1天呢？h(t+1)=1,h(t)=0.5。可以看到，h(t)的值发生了改变。原因是，h(t)不仅与哪天被打有关，同时还跟哪天感受有关，变成了一个二元函数。
我们再来看卷积的定义方式，卷积定义的下标t，其实不是某一天的意思，而是被打的那天和感受疼痛那天的距离，即0为当天打的，1为前一天打的，依此类推。也就是，卷积将一个二元变量，通过求差的方式，变为了一个一元函数。通过这个例子，也要建立一个概念，那就是y的坐标t与权重h的坐标t，其在形式上是一致的，但是在含以上是不一样的。
总而言之，卷积其实就是一种数学运算，一种为了在运算加和（离散）或积分（连续）的过程中引入不变权重的运算，即一种特殊的加权叠加。
2.卷积能干什么？
2.1采样与还原（该部分参考fseraph博文）
在数字信号处理中，离不开两个过程：采样和还原。
采样过程我们都很熟悉，就是将连续信号与周期采样信号在视域下点乘，就可以得到离散的信号，如下图：
那么，如何将离散的信号还原为连续信号呢？这就要出动卷积这个数学工具了，而且可以选择不同的卷积核进行复原，当然得到的结果也就不同。对于卷积核的选择，可以从频域的角度考虑，具体有时间单说把。在fseraph文中选取了三角卷积核，复原过程如下所示：
2.2滤波器
先从图像处理中的滑动平均滤波器讲起。在冈萨雷斯的书中第三章（空间域图像增强）中，提到了这个平滑线性滤波器。它的形式，如下所示：
在使用过程中，就是让这个3X3的卷积核的中心，沿着遍历图像的每一个点，再对应点相乘叠加作为处理结果。处理后图像每一点的值，都是原来周围的8个点和自身1个点的平均值，这也就实现了图像的平滑处理。这也就是一个二维卷积的过程，可以参看博主的上一篇博文，更形象的表达了二维卷积过程：
http://blog.sina.com.cn/s/blog_7445c2940102wmrp.html
下面我们再来看线性系统中的有限脉冲响应滤波器（FIR Filiter）。
第一次接触到滤波器这个概念，是在学习信号滤波的时候。书中介绍了三种基本滤波器，低通滤波器、高通滤波器和带通滤波器。他们的共同点就是，都是通过频域来对信号进行滤波的。因此，也就给我们了一个错觉，滤波器就是指的在频域下对信号进行某种处理。所以也就对FIR滤波器这个概念迟迟不能理解。明明FIR描述的是一个线性系统的时域响应，它是如何跟滤波器挂上钩的呢？
相信聪明的你已经想到了，难道只能在频域对信号处理么？为什么不能在时域进行处理？我们接触的信号一般都是在是时域下，如果利用频域滤波器，还需要先将信号转换到频域下，处理后再返回到时域中，而且只能据频率大小进行处理，当然这就很适合去噪等工作。但是，如果能够直接在时域中直接处理，岂不是更加直观。相信发明FIR滤波器的人也是这么想的。所以，就有了FIR滤波器。换句话说，FIR滤波器就是一种时域滤波器。
2.3 时间卷积与空间卷积
时间卷积最典型的例子就是线性系统的有限脉冲响应，可以用于描述一个线性过程。给定系统输入，通过与FIR卷积，就得到了系统的输出。
空间卷积最典型的例子就是上面讲的平滑滤波器，它是作用在空间范围的。也就是卷积的坐标是空间位置，而不是时间坐标。
时空混合卷积，比较典型的例子可以参看非稳态热传导过程。这个过程可以用偏微分方程描述，在一些限定条件下，我们可以将温场表述如下形式：
上式中，G称为格林函数，f是热源函数。可见温度值u，是热源和格林函数的二维卷积的结果，且一维是时间维度，一维为空间维度。
当然，卷积的用处还有很多，本文只是希望通过这几个例子能够加深读者对卷积的理解。其实还有一个很重要的方面没有涉及，就是通过傅里叶变换快速计算卷积。