补码在二进制带符号运算中的应用
1. 引入补码的原因
在数字电路或系统中，为简化电路，常将负数用补码表示，以便将减法运算变为加法运算。
以钟表为例，时间从6点钟减少到2点钟，可以通过6-4=2逆时针转动4个小时实现；也可以通过6+8=14(表盘为12进制，满12部分舍去，所以14表示的即为2点)顺时针转动8个小时实现同样效果。所以在表盘上，-4与+8具有同样的效果。故对于-4而言，+8称为它在以12为“模”时的补数。也就是说负数(-X)的补数=模-X的绝对值|X|。所以当模为12时，-4的补码=12-4=8。
数电课本中提到二进制数的补码表示方式：
若基数为，位数为的原码，其补码为
N补=R^n-|N|
这与负数(-X)的补数=模-X的绝对值|X|是一致的。在二进制带符号运算中，求负数补码时会用到对原码取反加1的操作。以-3为例，下面将按照上述公式，用4位二进制数表示该数字的补码。
-3的绝对值为3，对应4位二进制数为0011；模为16=1111+1。所以
-3补 = (1111+1)-0011= (1111-0011)+1
其中(1111-0011)这一步就是对0011按位取反，所以-3补=|-3|按位取反加1。
2. 无符号数和有符号数表示范围
以4位二进制数为例，当表示无符号数时，所表示范围为0000~1111，对应十进制中的0D~15D，共计16个数。
当表示有符号数时，最高位为符号位，0表示正数，1表示负数。所表示范围0000~1111对应十进制中的-8~7，也是16个数。
在数电课本中曾提到:
当二进制数为正数时，其反码、补码和原码相同。
当二进制数为负数时，保持最高为符号位不变，将数值位按位求反(得到反码)，然后在最低位加1得到补码。
3．为什么符号位能参与运算？
如图1所示，一个4位二进制数所能表示范围类似于一个圆。图中红色二进制数表示的是各数字所对应的补码，即参与真实运算时的代码。从0000到1111，随着补码值的增长，对应十进制数依次为0,1,2,3,4,5,6,7,-8,-7,-6,-5,-4,-3,-2,-1，共计16个数。也就是说补码能按照从0000~1111自然增长的方式，去决定-8~7之间数字在“圆型表盘”上的位置。以0-3为例，可以看做逆时针减去3个数；也可以看做顺时针加上13个数，而这个13所对应的二进制数1101就是-3的补码，这里就将0-3的减法转换成了0+13的加法。最后一步就是将补码13(1101)转换为相应的原码：-3(1011).具体转换方式见问题5回答。
4. 为什么负数在求补码时符号位要保持不变，其余位求反加1？
在图1所示的圆中，以0(0000)和-8(1000)为界分为了两个半圆。其中一半是0~7共计8个数，它们的共同点是最高位都为0；另一半是-8~-1，它们的共同点是最高位都为1。
对于0~7，其计数规律符合人的使用习惯，这里不再表述。而对于-8~-1，最高位为1一方面说明它们都是负数；另一方面说明这些值在实际计算中，已经在“表盘上”多走了半圈。也就是说减去一个数x，相当于在加8基础上再加上(8-|x|)。所以对于4位二进制表示的负数，原码转补码过程就是：符号位不变(最高位表示的半圈——加8)，其余位置取反加1(余下三位二进制表示的模为8，取反加1就是执行8-|x|)。
5. 为什么运算完的结果还要再转为原码？
在不超限溢出的前提下，如果计算结果为正数，那么补码与原码相同，得到的就是正确结果；如果计算结果为负数，还需要将补码再转换成原码。仍以0-3为例，在图1中，-3所对应补码为1101，如果不加处理，1101对应的将是-5，抛开最高位的负号不看，显然3跟5是关于低三位的模8是互为补数的。也就是说对于-3，已知补码为1101后，保持最高位不变，低三位取反加1(即低三位求补)，就能得到对应的原码1011（机器求原码的方法）。同样的-7的补码对应-1，-6的补码对应-2……也符合这样的规律，具体见表一中负数的补码和对应十进制数之间的关系。故计算完得到补码后，仍要转为原码。另附一种已知补码，简单计算原码的方法，如图3所示(人求原码的方法)，其基本原理参考图1即可。对于计算中出现的溢出问题，见图3，溢出会造成错误计算结果，是要着力避免的。
表一 4位二进制数原码、反码、补码对照表
正数(正数的原码=反码=补码) |
负数 |
||||
二进制 |
十进制 |
二进制原码 |
二进制反码 |
二进制补码 |
十进制 |
0000 |
0 |
— |
— |
1000(-0D) |
-8 |
0001 |
1 |
1001 |
1110 |
1111(-7D) |
-1 |
0010 |
2 |
1010 |
1101 |
1110(-6D) |
-2 |
0011 |
3 |
1011 |
1100 |
1101(-5D) |
-3 |
0100 |
4 |
1100 |
1011 |
1100(-4D) |
-4 |
0101 |
5 |
1101 |
1010 |
1011(-3D) |
-5 |
0110 |
6 |
1110 |
1001 |
1010(-2D) |
-6 |
0111 |
7 |
1111 |
1000 |
1001(-1D) |
-7 |
图1 四位二进制数表示范围示意图
图2 有符号数已知补码求原码方法
图3 溢出问题
本文参考文献：
[1] 康华光. 电子技术基础数字部分(第六版)[M]. 高等教育出版社, 2013.
[2] 水头一寿, 米泽辽, 藤田裕士,等. CPU自制入门[J]. 2014.