背包问题之输出最优方案

一般而言，背包问题要求一个最优解，若要求输出这个最优值的方案，可参照一般动态规划问题输出方案的方法：记录下每个状态的最优值是由状态转移方程的哪一项推出来的，也就是说，记录下它是由哪一项决策推出来的，便可以根据这个决策找到上一个状态，从上一个状态接着往前推即可，这里以0-1背包为例子，给定输入如下：

c = [2,3,4,5,6,7,8];
v = [3,4,5,6,7,8,9];
V = 23;

求解最优值的状态转移方程为 $dp[i][j]=max\{dp[i-1][j],dp[i-1][j-c[i]]+v[i]\}$。再用一个数组 $g[i][j]$，设 $g[i][j]=0$ 表示推出 $dp[i][j]$ 的值时是采用了方程的前一项，$g[i][j]=1$ 表示采用了方程的后一项。

    public int knapsackProblem(int[] c, int[] v, int cap) {
        int[][] dp = new int[c.length + 1][cap + 1], g = new int[c.length + 1][cap + 1];
        List<Integer> list = new LinkedList<>();
        for (int i = 1; i <= c.length; i++) {
            for (int j = cap; j > 0; j--) {
                if (c[i - 1] <= j) {
                    if (dp[i - 1][j] >= dp[i - 1][j - c[i - 1]] + v[i - 1]) {
                        dp[i][j] = dp[i - 1][j];
                        g[i][j] = 0;
                    } else {
                        dp[i][j] = dp[i - 1][j - c[i - 1]] + v[i - 1];
                        g[i][j] = 1;
                    }
                } else {
                    dp[i][j] = dp[i - 1][j];
                }
            }
        }
        int i = c.length, V = cap;
        while (i > 0) {
            if (g[i][V] == 0) {
                i--;
            } else {
                list.add(i - 1);
                V -= c[i-- - 1];
            }
        }
        Collections.reverse(list);
        System.out.println("已选择物品下标： " + list);
        return dp[c.length][cap];
    }

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