第二十八讲 解非齐次线性方程组

一，关于二阶方程组$x^{\prime }=Ax$的理论（对n阶方程也成立）：
（假设A是常数矩阵）

1. 定理A：$x^{\prime }=Ax$的通解是$x=c_1{x}_1+c_2{x}_2$（$x_1$和$x_2$线性无关）
2. 证明可以用线性叠加原理，这里不做详细说明了。
3. 定理B：朗斯基行列式$W(x_1,x_2):=|x_1{x}_2|$，（符号$:=$表示定义或等价），这里$x_1$和$x_2$不一定线性无关。如果二阶方程有两个解，那么朗斯基行列式是自变量t的函数，并且有两种可能性，要么$W(t)̸\equiv 0$（当$x_1$和$x_2$线性无关时），要么$W\equiv 0$（当$x_1$和$x_2$线性相关时）。
4. 方程组的基本矩阵：$x^{\prime }=Ax$，特征向量矩阵$X:=\left[\begin{array}{cc}{x}_1& x_2\end{array}\right]$，$x_1$和$x_2$线性无关
5. X的性质1：|X|对于任意自变量t都≠0，因为$x_1$和$x_2$线性无关
6. X的性质2：$X^{\prime }=\left[\begin{array}{cc}{x_1}^{\prime }& {x_2}^{\prime }\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}A{x}_1& A{x}_2\end{array}\right]=A\left[\begin{array}{cc}{x}_1& x_2\end{array}\right]=AX$

二，解非齐次线性方程组：
一般形式：$\{\begin{array}{c}{x}^{\prime }=ax+by+r_1(t)\\ y^{\prime }=cx+dy+r_2(t)\end{array}$
简化形式：$x^{\prime }=Ax+r(t)$
定理C：微分方程组的通解$x_g=x_c+x_p$，其中$x_c$是$x^{\prime }=Ax$的通解，$x_p$是微分方程组的一个特解。可以用线性叠加原理证明。
找到特解$x_p$是求解的关键。

三，例题：

图中，箭头表示流向，数字表示流速，单位是L/h，x表示左边容器中盐的含量，y表示右边容器中盐的含量，两个容器的容量都是1L。
假设输入项为：外部流入左边容器的液体浓度是$5e^{-t}$，外部流入右边容器的液体浓度是0。输入项不全为0，决定了方程组是非齐次方程组。

1. 建立微分方程组：
   $x^{\prime }=-3x+2y+5e^{-t}$
   含义：左边容器x的变化率=-流出速度X左容器中盐的浓度+内部流入速度X右容器中盐的浓度+从外部流入速度X外部液体的浓度。
   $y^{\prime }=3x-4y+0$
   含义：右边容器y的变化率=内部流入速度X左容器中盐的浓度+流出速度X右容器中盐的浓度+从外部流入速度X外部液体的浓度。
   $\{\begin{array}{c}{x}^{\prime }=-3x+2y+5e^{-t}\\ y^{\prime }=3x-4y+0\end{array}$

2. 矩阵化：
   $\left[\begin{array}{c}{x}^{\prime }\\ y^{\prime }\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}-3& 2\\ 3& -4\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}5e^{-t}\\ 0\end{array}\right]$

3. 参数变分法求特解$x_p$：
   $x_p=v_1(t)x_1+v_2(t)x_2$
   和定理A类似，只不过把常数c改成了参数v
   化为基本矩阵：$x_p=\left[\begin{array}{cc}{x}_1& x_2\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{v}_1(t)\\ v_2(t)\end{array}\right]=Xv$

4. 将特解$x_p$代入方程组$x^{\prime }=Ax+r(t)$，求出$v$：
   代入得：${x_p}^{\prime }=A{x}_p+r(t)$
   等式左边：${x_p}^{\prime }={(Xv)}^{\prime }=X^{\prime }v+X{v}^{\prime }$，（乘积的求导公式）
   等式右边：$Ax+r(t)=AXv+r(t)$
   因为X是方程组的基本矩阵，所以根据X的性质2：$AX=X^{\prime }$
   等式右边：$Ax+r(t)=AXv+r(t)=X^{\prime }v+r(t)$
   左边=右边：$X^{\prime }v+X{v}^{\prime }=X^{\prime }v+r(t)\Rightarrow X{v}^{\prime }=r(t)$
   $v^{\prime }=X^{-1}r(t)$，根据X的性质1，X存在逆矩阵
   $v=\int X^{-1}r(t)dt$，$X^{-1}r(t)$是一个列向量，元素都是t的函数，只要逐个积分就算出来了。
   结果：$x_p=Xv=X\int X^{-1}r(t)dt$，只要找到一个特解就行，因此不用在公式后加积分常数。

5. 求$x^{\prime }=Ax$的通解$x_c$的部分省略了