剑指Offer刷题笔记

33、【树】判断一个后序遍历序列是否是二叉搜索树（二叉搜索树：左<根<右）

解法：递归。根据后序遍历的性质，最后一个数字是根节点。首先需要找到左右字数的分界点。遍历数组，找到第一个大于root的位置即为左右子树分界点，从分界点开始继续遍历，如果出现小于root的值，表示右子树不满足二叉搜索树定义，直接返回false。否则继续递归判断左子树和右子树是否是二叉搜索树。

边界条件：空树

 

34、【树】二叉树中和为某一值的路径（不止一条）

解法：题目要求输出路径。因此考虑用一个vector来保存走过的节点，push_back方法用来存入值，pop_back方法用来删除值，这样就可以形成一个后进先出的结构。按照前序遍历的顺序，遍历到一个节点的时候，首先判断该节点是否是叶子结点，如果是叶子结点且sum == target，则找到一条路径，输出该路径。如果是叶子结点但sum != target，则说明该路径不是要找的目标路径。找到叶子节点，说明寻找完毕，从vector弹出叶子节点。如果不是叶子结点，则递归进行左右子树的遍历。

边界条件：空树

 

38.1、【字符串】字符串全排列（此题编码不容易）

例：a、b、c的所有字符串排列为abc、acb、bac、bca、cab、cba

解法：首先确定第一个位置的元素，然后一次确定每一个位置，每个位置确定时，把所有情况罗列完全即可，注意有重复字符时，跳过

 

38.2、【字符串】字符串组合（此题编码不容易）

例：a、b、c的所有字符串组合为a、b、c、ab、ac、bc、abc

解法：可以把求n个字符组成长度为m的组合问题分解成两个子问题，分别求n-1个字符中长度m-1的组合，以及求n-1个字符中长度为m的组合

 

39、【TOP-K】无序数组中出现次数超过一半的数字

解法一：类比快排原理，当一个数字出现次数超过一半时，排序数组中的中间位置一定是该数字。利用partition函数，任取一个枢轴（如区间最后一个数），将小于枢轴的值移到左边，大于枢轴的值移到右边，每次partition都可以将一个枢轴元素置于正确的位置。循环该过程，直到partition函数返回的枢轴位置等于 length/2 。时间复杂度O(n)。注意：这种方法只有在原数组可以修改的情况下使用

解法二：你们全上都打不过我。利用数组保存两个值，数字本身和数字出现的次数n。遍历数组，遇到相同的数字时，n++；遇到不同的数字时，n--，直到n ==0 时，更新数字。循环以上过程，最后留下的数字就是出现次数超过一半的数字。

边界条件：数组中只有一个数字

 

40、【TOP-K】寻找n个整数中最小的k个数

解法一：类比39题，利用partition函数，任取一个枢轴（如区间最后一个数），将小于枢轴的值移到左边，大于枢轴的值移到右边，每次partition都可以将一个枢轴元素置于正确的位置。循环该过程，直到枢轴位于第k个数所在的位置(k-1)。时间复杂度O(n)。注意：这种方法只有在原数组可以修改的情况下使用

解法二：最大堆。维护一个大小为k的最大堆。通过删除堆顶元素来保持堆的大小为k，当所有数据遍历一边之后，堆中的最大值即为第k大的元素。时间复杂度：插入删除元素O(logk)，共有n个元素，因此总的时间复杂度为O(nlogk)。该方法适合处理海量数据

边界条件：k = 1，k等于数组的长度

 

41、【DP】数据流中的中位数（排序后，中间位数的数字，注意区分奇偶数）【了解即可】

解法：将数据分成两部分，左边部分的所有数字都小于右边部分。用最大堆处理左边数据，最小堆处理右边数据，注意保证两个原则：

1、左右数据数目之差不超过1

2、最大堆的所有数据都要小于最小堆的数据

当新数据插入且以上两个原则不能满足时，删除最小堆的堆顶数据，并将其插入最大堆中，同时将新数据插入最小堆

 

42、【DP】连续子数组的最大和，数组中包含正数和负数，要求时间复杂度为O(n)

解法：考虑动态规划，设dp[i]为以i结尾的连续子数组的最大和，则dp[i] = max { dp[i-1] + nums[i] , nums[i] }，含义：在前面已经得到的子数组后加上nums[i]或者自成一派，自己最大。

（注意：题目中出现“连续子数组”，dp[i]都要考虑以第i为结尾，这样才能保证连续）

边界条件：数组为空

 

43、1~n整数中1出现的次数

 

44、数字序列中某一位的数字

 

45、【字符串/DP】把数组排成最小的数

例：数组{3,32,321}，能排成的最小数字时321323

解法：利用sort函数，自定义compare方法。为了解决大数问题，将数字转为字符串。将两个字符串连接，由于两种连接方式生成的字符串位数相同，可以直接使用字符串比较函数strcmp，返回较小的那个组合。

 

46、【字符串/DP】把数字翻译成字符串

（0翻译成a，...，11翻译成l，...，25翻译成z），求出一串数字有几种翻译方法

例：12259，一共存在5种翻译方法，分别是1|2|2|5|8，12|2|5|8，12|25|8，1|22|5|8，1|2|25|8

解法：考虑倒序。用一个数组dp[i]保存i到末位的翻译数。如果i与i+1无法组合，则dp[i] = dp[i+1]；如果i与i+1能够组合，则dp[i] = dp[i+1] + dp[i+2]

边界条件：取用dp[i+2]时，注意判断是否越界，如果越界，则dp[i] = dp[i+1] + 1

 

47、【DP】礼物最大价值

（棋盘格中有数字，从左上到右下，每次向左或向下移动，求路径和）

解法一：暴力。一个长度为n的字符串包含O(n^2)个子串，同时每个子串需要O(n)的时间判断是否包含重复字符，因此总的时间复杂度为O(n^3)

 

48、【DP】最长不含重复字符的子字符串

（返回最长子串长度）

解法一：暴力。一个长度为n的字符串包含O(n^2)个子串，同时每个子串需要O(n)的时间判断是否包含重复字符，因此总的时间复杂度为O(n^3)

解法二：函数f(i)表示【以第i个字符结尾】的不包含重复字符的子字符串的最长长度。分为3种情况：

    1、str[i]没有出现过时，f(i) = f(i - 1) + 1

    2、str[i]出现过且两次出现的间隔d大于f(i-1)，表示str[i]上次出现的位置在当前不重复子串之外，没有影响，f(i) = f(i - 1) + 1

    3、str[i]出现过且两次出现的间隔d小于或等于f(i-1)，表示str[i]上次出现的位置在当前不重复子串之内，需要更新当前不重复子串，f(i) = d

边界条件：字符串为空，

 

49、【其它】丑数

（能被1，2，3，5联合整除的数，求第1500个丑数）

解法一：暴力。3个循环，把2除尽，把3除尽，把5除尽，如果为1，则为丑数。缺点：每个数字都要除尽之后才能判断是不是丑数，因此在非丑数上会消耗大量时间

解法二：由于丑数肯定是由其他丑数乘以2，3，5构成，因此对于按顺序递增的丑数而言，新的丑数可以通过对前面已经求得的丑数进行乘法操作得到，3种乘数得到的新丑数中的最小值，就是顺序递增的丑数序列的最新值。还可以继续优化，用T2, T3, T5来表示丑数的【下界】，所谓下界，就是乘以2，3，5后，得出的值不会是之前记录过的（是新值）。T2, T3, T5需要在每轮计算后进行更新，可以避免多余的运算

边界条件：index = 1， index  < 1的无效输入

 

50、【字符串】字符串中第一个只出现一次的字符

解法一：暴力。时间复杂度O(n^2)

解法二：利用哈希表的思想。构建定长数组，将字符作为下标，存储该字符出现的次数。两次扫描，第一次扫描用于统计每个字符出现的次数，第二次扫描用于找到第一个出现次数为1的字符。时间复杂度O(n)+O(n) = O(n)

边界条件：字符串为空

 

51、【数组】数组中的逆序对

例：在数组{7,5,6,4}中，一共存在5个逆序对，分别是{7,6}，{7,5}，{7,4}，{6,4}，{5,4}

解法一：暴力。时间复杂度O(n^2)

解法二：归并思想。将数组按两个一组切分，记录包含两个元素数组的逆序对数，同时进行排序，避免后期重复计算。类比归并操作，进行4个一组的逆序对数量统计。两个指针分别指向两个数组的高位，判断指针所指元素的大小，如果是逆序（左边元素大于右边元素），累加逆序数，注意此时的逆序数等于右边起始位置到指针位置所有的元素个数（因为上一步已经在子数组中按递增排好序）。注意如果某个数组已经排完，剩下的元素可以直接放入（类比归并操作）。

边界条件：数组为空，数组只包含一个数字，数组只包含两个数字

 

52、【链表】两个链表的第一个公共节点

解法一：暴力，从一个链表出发，每到一个节点，就遍历另一个链表，判断是否是公共节点。时间复杂度O(mn)，m、n为链表长度

解法二：两条链表同时出发。当其中一个链表到终点时，记录两个链表的步数差n。让长链表先走n步，再同时移动两条链表，相遇的点即为公共节点。时间复杂度O(m + n)

边界条件：二叉树只有左/右节点、输入的二叉树根节点为nulptr（空二叉树）

 

53.1、【数组】给定数字k在排序数组中出现的次数

解法一：排序数组，首先想到二分。通过二分找到其中一个k的位置，从该位置向左右扫描，直到扫描到边界。时间复杂度O(n)

解法二（优）：解法一的时间复杂度可以继续优化。考虑通过二分查找，直接找到左右边界。以左边界为例，二分查找，直到满足（值==k 且 为左边界） 时，跳出循环，右边界同理。时间复杂度O(logn)

边界条件：k不存在，返回-1。 index-1可能越界，所以index == 0时，需要跳出循环

 

53.2、【数组】长度为n-1的递增排序数组，数字范围0~n-1，求缺失的那个数

（总共n个，实际只有n-1个，求缺失的那个数）

解法一：数学解法。先求出0~n-1的累加和 n * (n-1) / 2 ，再求出数组实际的累加和，相减，即为缺失的那个数。没有利用到排序的性质，时间复杂度O(n)

解法二（优）：排序数组，首先想到二分。完整的数组中，数组下标对应的值，与下标是相等，以此作为判断条件，比较下标与对应值的大小关系，index < nums[index] && index-1 < nums[index]，则继续找左边；index < nums[index] && index-1 == nums[index - 1], index -1即为所要找的值；index = nums[index]，继续找右边。时间复杂度O(logn)

边界条件：数字合法性判断，n < 0，数组不是递增序列，输入数字不在 0~n-1范围内

 

53.3、【数组】递增数组，找到一个值与下标相等的数字

解法一：暴力扫一遍。时间复杂度O(n)

解法二（优）：排序数组，首先想到二分。当index < nums[index]时，找左边；index > nums[index]，找右边；直到 index  = nums[index]。时间复杂度O(logn)

边界条件：数组不是递增序列，数组中不存在这样的数字

 

54、【树】二叉搜索树的第K大节点

解法：中序遍历，按左子树，根节点，右子树的顺序查找，每次查找 k--，直到 k  == 1时，下一个要找的就是第K大节点 （此题编码不容易）

边界条件：k可能等与 0 或者 1， 二叉树只有左/右节点 ，输入的二叉树根节点为nulptr（空二叉树）

 

55.1、【树】二叉树的深度（最长路径）

解法：递归，先从左子树开始找，再从右子树开始找，返回左右子树中的最大深度 + 1

边界条件：二叉树只有左/右节点、输入的二叉树根节点为nulptr（空二叉树）

 

55.2、【树】判断是否是平衡二叉树（左右子树深度差不超过1）

解法一：仿照55.1，从根节点开始，递归计算每棵子树的深度，直到所有子树都满足平衡二叉树的定义

解法二（优）：解法一让许多树节点的深度进行了重复计算，因此考虑后序遍历，每次都记录节点的深度，这样可以一边遍历一边判断每个节点是不是平衡点，避免重复计算

边界条件：二叉树只有左/右节点、输入的二叉树根节点为nulptr（空二叉树）