快速傅里叶变换的C语言实现

快速傅里叶变换(FFT)利用了旋转因子$e^{-j\frac{2\pi }{N}}$的周期性、共轭对称性以及可约性极大简化了DFT的计算量，具体可以查阅清华大学出版社数字信号处理程佩青第四版第四章。
理论推导一大堆，最重要的是对于蝶形图的理解。书上有8点的蝶形图，这里给出16点的蝶形图。

这张图其实有点小问题，所有的横线都画漏了。
下面讨论C语言实现，此处实现DIT的基2 FFT算法。分为两步，第一步是对于输入序列的重新排序，以确保输出的频域值是顺序的；第二步是进行复数的乘法和加法，每一个蝶形需要两次复数加法（其实是一次加一次减）以及一次复数乘法。输入的点个数必须是2的幂次，如果不是，需要补0让输入点数满足2的幂次。
第一步采用Rader算法，就是将一个数转化成倒位序。以8点为例：

原序列	FFT序列	原序列二进制（i）	FFT序列二进制（j）
0	0	000	000
1	4	001	100
2	2	010	010
3	6	011	110
4	1	100	001
5	5	101	101
6	3	110	011
7	7	111	111

从表中可以看出，要将输入序列换成需要的FFT序列，则只需要将原序列的二进制表示倒过来就可以了。(当初我发现这一点时惊呆了！)
设输入点数为N，则蝶形的级数为$t={\log }_{2}N$，表示序列的2进制位数也是t位。
Rader算法实现原理是：i，j都从0开始，若已知某个倒位序j，要求下一个倒位序数，则应先判断j的最高位是否为0，将j与k=N/2相比较，如果k>j，则j的最高位为0，只要把该位变为1（j与k=N/2相加即可），就得到下一个倒位序数；如果k<=j，则j的最高位为1，可将最高位变为0（j与k=N/2相减即可）。然后还需判断次高位，这可与k=N/4相比较，若次高位为0，则需将它变为1（加N/4即可）其他位不变，既得到下一个倒位序数；若次高位是1，则需将它也变为0。然后再判断下一位，以此类推。
C语言实现：

nv2=FFT_N/2;                  //变址运算，即把自然顺序变成倒位序，采用雷德算法 
nm1=FFT_N-1;   
for(i=0;i

再给出一种实现方式，利用按位与来实现。

void change()        
{  
  	complex temp;  
  	unsigned short i=0,j=0,k=0;  
  	double t;  
  	for(i=0;i0)    //利用按位与以及循环实现码位颠倒，循环t次，t--是先判断再自减，--t是先自减再判断 
  		{  
    		j=j<<1;   //将找到的1移位来实现倒序 
    		j|=(k & 1);  //对于t级的蝶形，这里的操作数也是t位，判断k的末位是不是1，如果是的话将j的末位置位1 
    		//将k的每一位遍历一遍找1
    		k=k>>1;  
  		}  
  		if(j>i)    //将x(n)的码位互换，其实只需要循环size_x/2次就行了（待考证），因为i>size_x/2时，倒序必定比i小。 
  		{  
    		temp=x[i];  
    		x[i]=x[j];  
    		x[j]=temp;  
  		}  
  	}  
  	output();  
}  
  

接下来是蝶形运算的处理
这里以8点FFT为例子，放上一张图片：

再放上FFT核心C代码：

void fft()  
{  
    int i=0,j=0,k=0,l=0;  
    complex up,down,product;  
    change();  //调用变址函数  
    for(i=0;i< log(size_x)/log(2) ;i++)        /*一级蝶形运算 stage */  
    {     
        l=1<

N个点的FFT的级数可以划分为${\log }_{2}N$级，我们这里的8个点就是3级。我们计算FFT结果的过程其实就是将x[0]->x[7]完成三级蝶形运算的过程，通过三重循环实现，每一重循环完成一级的运算。例如在图上已经标注出来的，第一级运算之后x[0]变成了x[0]+x[1]*W[0]，把新x[0]再带入下一级的运算中。**当然了，在第一级运算开始之前，你需要change函数完成倒序；还需要表示出旋转因子W${}_N^i$。
我还手写了一份上述C代码循环执行过程，帮助理解：

小结一下，DFT是DTFT的离散形式，FFT是DFT的计算方法，FFT只是一个算系数的过程。