使用Python3进行信号处理和分析（一）：使用类Matlab的方式绘制波特图（Bode Plot）

Preface

该系列文章是笔者复习研究生入学考试专业课，为辅助理解使用Python进行实验时所写。要求读者有电子信息方向本科大二及以上的基础知识，包括模数电、信号与系统以及数字信号处理等。因此部分细节性的知识不再详述。
本文使用的环境为Matlab R2018b以及Python 3.7.1（由Anaconda管理）

波特图

注意：此波特（Bode）非彼波特（Baud），后者是通信中的概念。

波特图是线性非时变系统的传递函数对频率的半对数坐标图，利用波特图可以看出系统的频率响应。又称幅频响应和相频响应曲线图。

以上摘自百度百科，波特图在模拟系统的分析中十分重要。
频率响应的计算来源于信号与系统的拉氏变换：将模拟系统看做线性时不变（LTI）系统，输入电压$v_i(t)$看做激励信号$e(t)$，输出电压$v_o(t)$看做响应信号$r(t)$，那么该系统就满足(1)式：
$$r(t)=e(t)\ast h(t)\text{\hspace{1em}(1)}$$
其中$h(t)$是系统的冲激响应，对其进行拉氏变换，有
$$R(s)=E(s)H(s)\text{\hspace{1em}(2)}$$
(2)式中的$H(s)$称为系统函数，已知系统函数满足(3)式：
$$H(s)=\left|H(s)\right|e^{\varphi (s)}\text{\hspace{1em}(3)}$$
在理论分析中，一般认为复频率$s$满足(4)式（为什么？）
$$s=j\omega \text{\hspace{1em}(4)}$$
于是综合(3)(4)两式，易得
$$H(j\omega )=\left|H(\omega )\right|e^{\varphi (j\omega )}\text{\hspace{1em}(5)}$$
其中$\left|H(\omega )\right|$称为信号的幅频特性，$\varphi (j\omega )$称为信号的相频特性，它们都反映了系统的频率特性。波特图正是直观反映它们的工具。
现在设某系统的系统函数为(6)式，逐一讨论如何使用matlab和python3绘制波特图
$$H(s)=\frac{s+1}{s^2-5s+6}\text{\hspace{1em}(6)}$$

使用matlab绘制波特图

Matlab拥有极丰富的信号处理工具箱，可以轻易的绘制出系统的波特图。
这里主要借助tf函数进行绘制

% 方法一：使用tf构建复频率变量
s = tf('s');
sys = (s + 1) / (s ^ 2 - 5 * s + 6);
bode(sys)

% 方法二：直接使用tf构建系统函数
sys = tf([1, 1], [1, -5, 6]);
bode(sys)

可见，不论如何构建系统函数，都需要使用bode()函数进行绘图，该函数可以一次性给出幅频特性和相频特性的曲线，极为方便。

使用python3绘制波特图

这里必须安装这么几个第三方库：numpy，scipy，matplotlib。可以使用conda或者pip安装。

# -*-coding: UTF-8 -*-
from scipy import signal
from pylab import *

def main():
	system = signal.lti([1, 1], [1, -5, 6])			# 类似tf函数，构建系统函数H(s)
	f = logspace(-2, 5)								# 取频率坐标，0.01Hz ~ 0.1MHz
	w = 2 * pi * f									# 取角频率
	w, mag, phase = signal.bode(system, w)			# 计算各参量, mag为幅频特性，phase为相频特性
	semilogx(f, phase)								# 绘制半对数坐标图（频率作为横轴采用对数坐标），将phase换成mag即为幅频特性曲线

	show()											# 很重要，如无此函数则不显示

if __name__ == "__main__":
	main()

注意

代码较为简单，因此就不上图了
这里交代两个问题：

1. 为什么$s=j\omega$？
   答：因为模电的理论分析中常用正弦信号作为输入信号，由欧拉公式，$cosj\omega t=\frac{e^{j\omega t}+e^{-j\omega t}}{2}$，因此复频率为纯虚数

2. tf和lti传参的问题
   这两个函数较为相似，在直接构建系统函数时，接受的参数应为系统函数分子和分母各项的系数组成的列表，系数的分配是从右到左的，这点不难从上面的代码中观察得出