关于二叉树的一些简单理解

      一.什么是二叉树 

在计算机科学中，二叉树是每个节点最多有两个子树的树结构。通常子树被称作“左子树”（left subtree）和“右子树”（right subtree）。二叉树常被用于实现二叉查找树和二叉堆。

二叉树的每个结点至多只有二棵子树(不存在度大于2的结点)，二叉树的子树有左右之分，次序不能颠倒。二叉树的第i层至多有2^{i-1}个结点；深度为k的二叉树至多有2^k-1个结点；对任何一棵二叉树T，如果其终端结点数为n_0，度为2的结点数为n_2，则n_0=n_2+1。

一棵深度为k，且有2^k-1个节点称之为满二叉树；深度为k，有n个节点的二叉树，当且仅当其每一个节点都与深度为k的满二叉树中，序号为1至n的节点对应时，称之为完全二叉树。

 二.特殊二叉树

    1.斜树

            所有的结点都只有左子树（左斜树），或者只有右子树（右斜树）。这就是斜树，应用较少

     2.满二叉树

         所有的分支结点都存在左子树和右子树，并且所有的叶子结点都在同一层上，这样就是满二叉树。就是完美                圆满的意思，关键在于树的平衡。

      

    根据满二叉树的定义，得到其特点为：

          叶子只能出现在最下一层。

          非叶子结点度一定是

          在同样深度的二叉树中，满二叉树的结点个数最多，叶子树最多。

 3.完全二叉树

      对一棵具有n个结点的二叉树按层序排号，如果编号为i的结点与同样深度的满二叉树编号为i结点在二叉树中位             置完全相同，就是完全二叉树。满二叉树必须是完全二叉树，反过来不一定成立。

其中关键点是按层序编号，然后对应查找。

结合完全二叉树定义得到其特点：

        叶子结点只能出现在最下一层（满二叉树继承而来）

       最下层叶子结点一定集中在左 部连续位置。

       倒数第二层，如有叶子节点，一定出现在右部连续位置。

       同样结点树的二叉树，完全二叉树的深度最小（满二叉树也是对的）。

 三.二叉树性质

        1.一般二叉树性质（非完全二叉树）

      在非空二叉树的i层上，至多有2 ^i-1 个节点(i>=1)。通过归纳法论证。

     在深度为K的二叉树上最多有2^k-1个结点（k>=1)。通过归纳法论证。

     对于任何一棵非空的二叉树,如果叶节点个数为n₀，度数为2的节点个数为n₂，则有: n0 = n₂ + 1

     在一棵二叉树中，除了叶子结点（度为0）之外，就剩下度为2(n2)和1(n1)的结点了。则树的结点总数为T =                  n0+n1+n2;在二叉树中结点总数为T，而连线数为T-1.所以有：n0+n1+n2-1 = 2*n2 +n1;最后得到n0 = n2+1;

       2.完全二叉树性质

    具有n的结点的完全二叉树的深度为log ₂ n+1.

   如果有一颗有n个节点的完全二叉树的节点按层次序编号，对任一层的节点i（1<=i<=n）有

    1.如果i=1，则节点是二叉树的根，无双亲，如果i>1，则其双亲节点为[i/2]，向下取整

    2.如果2i>n那么节点i没有左孩子，否则其左孩子为2i

    3.如果2i+1>n那么节点没有右孩子，否则右孩子为2i+1

 

 四.二叉树遍历

     1.前序遍历

          基本思想：先访问根结点，再先序遍历左子树，最后再先序遍历右子树即 根—左—右 。

       

     2.中序遍历

                  基本思想：先中序遍历左子树，然后再访问根结点，最后再中序遍历右子树即左—根—右

     3.后序遍历

           基本思想：先后序遍历左子树，然后再后序遍历右子树，最后再访问根结点即左—右—根。