特征值之积等于矩阵行列式、特征值之和等于矩阵的迹

　　对于$n$阶方阵$A$，使用$|A-\lambda E|=0$求矩阵的特征值。因为在复数域内一定有$n$个特征值$\lambda_1,\lambda_2...\lambda_n$，因此作为$\lambda$的$n$次多项式，$|A-\lambda E|$又可表示为：

$(\lambda_1-\lambda)(\lambda_2-\lambda)...(\lambda_n-\lambda)$

$\displaystyle=\lambda_1...\lambda_n+(-1)^1(\lambda_1+...+\lambda_n)\lambda+...+(-1)^{n-1}(\lambda_1+...+\lambda_n)\lambda^{n-1}+(-1)^n\lambda^n$

　　$\lambda=0$时，有$|A| = \lambda_1...\lambda_nl$。所以特征值之积等于矩阵行列式。

　　另外，特征值之和等于矩阵的迹的证明：

　　由上面的表示可看出$(-1)^{n-1}\lambda^{n-1}$项的系数为$(\lambda_1+...+\lambda_n)$，而对于行列式$|A-\lambda E|$，从行列式定义的角度看，要获得$\lambda$的$n-1$次项，只有全部对角线元素的乘积才行。因为逆序一次，$\lambda$的最大次数就已经等于$n-2$了，而更多逆序只会让次数更小。再看对角线元素的乘积：

$(A_{11}-\lambda)...(A_{nn}-\lambda)$

　　可得$n-1$次项为$(-1)^{n-1}(A_{11}+...+A_{nn})\lambda^{n-1}$。所以特征值之和等于矩阵的迹。