信号与系统与数字信号处理丹梅老师公众号笔记

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（一）关于教材
信号与系统 方面的教材太多太多了，都泛滥了。不同教材各有各的特点，经典教材经过时间考验、多年以来多次出版的，肯定是好的。那些名不见经传、为了出书而出书的教材就还是算了吧。只是，“好的”不等于“适合自己的”。对于复习而言，我倒是觉得对于同一个知识点，多看几本教材，可以加深自己的理解。
比如，奥本海姆的书是先讲离散信号的傅里叶变换，而包括郑君里在内的大多数国内教材，都是先引入连续信号的傅里叶变换。B.P.Lathi的书，是先讲拉氏变换和z变换，再讲傅里叶变换。而其他大多数教材都是先频域、再复频域。
再比如，拉普拉斯变换，奥本海姆的，是以双边为主，最后一节，才引出单边；而包括郑君里在内的大多数教材，是以单边拉氏变换为主，最后说明一下双边。
再比如，郑君里的教材，物理概念和数学推导结合的比较好，强调物理意义。而吴大正的教材就更偏数学。
（二）关于做题

“老师，您的课讲得很明白，但是我课能听懂，做题无从下手”。我觉得这个问题有普遍性，是很多同学都会有的疑问。首先我想知道的是，让你感觉“无从下手”的题，是基本题，还是有一定难度的题？或者干脆是一些“难题、怪题、变态题”。如果是最后一项，那很正常，地球人都这样。如果是第一项，那就说明基础知识虽然听懂了，但并没有真正掌握。我的网课中，每一章或者每两章最后都有一次习题课，习题课中的题目，就大多数是基本题，掌握这些题目，是基础。
但是，我猜，最大的可能是第二种情况，有一定难度的题目，不是那种一看就知道怎么做的，所以感觉无从下手。在掌握基本知识点、做会基本题的基础上，我给以下几点建议：
（1）要注意自己总结，注意，不是听或者看别人的老师的总结，而是要自己总结；
（2）做题的时候，给这个题目归类，考察的哪个或者哪几个知识点？考察这个知识点的题目，以前做过没有，和这个有哪些相同的地方、哪些不同的地方；
（3）不会的题，看了答案又会的，问问自己，为什么开始自己没想到这样做？以后遇到类似的，能不能会做；
（4）对于那种反复出现反复考察的知识点，想一想自己能不能出出类似的题目来？
信号与系统要拿高分，光听课是不够的，必须大量做题。但做题，要带着思考去做，才能事半功倍。
比如，有同学问“老师，考研的学生跟着您的视频就能应付吗？”看到这样的问题，大家的感觉是不是和我一样想拿块砖头拍他呢？！还有同学问“老师，信号与系统怎么复习？”让我怎么回答？？？

这里顺便吐槽一下。一直以来，大家（包括我在内）好像有个错觉，觉得国外教授出的书就一定是严谨的、负责的。前几天买的一本书让我大跌眼镜。

为什么有些同学觉得学得很累，课程很杂，从早忙到黑，结果考试一过还是什么都没学会？因为他们还不会学习。学习自然科学者，最重逻辑。小到一门课程，大到一个学科，抓住它的逻辑关系就很容易学。能将其逻辑关系化入自己的逻辑体系中来，就很容易学会、学会就是自己的东西了，知识才转化为智力。
我们现在学习的自然科学，是西方的逻辑。大前提、小前提，得到结论。凡事都要问问一句为什么，它从哪里来，将往哪里去？前后左右都是什么？如何相互影响、相互转化？不去探究这些，就不是在学习。
学习本身就是一门功夫，所以做学生必定得下工夫去学习，这是学生的本职。面对满堂灌的知识和花花绿绿的风，岿然不动、始终知道自己在学什么、该怎么学、学了干什么用，这才是好学生。
“信号与系统”和“数字信号处理”是本科电子类专业的技术基础课，根据专业不同，课程名称和内容稍有调整，但主体内容一致。这两门课程是一对姐妹课程。“信号与系统”中的很多知识点在“数字信号处理”课程的学习中都会用到。
有些院校将这两门课程合二为一，一般称之为“信号处理原理”或者“信号处理与系统”等。但更常见的是作为两门课程开课，安排在两个学期。如果大二下学习“信号与系统”，那么就是大三上学习“数字信号处理”；或者延后一个学期，分别在大三上和下两个学期学习。也就是说，在这两门课程中间隔一个暑假或者一个寒假，而且如果“信号与系统”开课早，那么在距离学期末一个多月时可能就已经结束了，那么等下学期再开始学习“数字信号处理”时，可能已经过去两个多月甚至是三个月了。必然会对很多知识点有所遗忘，会对“数字信号处理”的学习造成一定的障碍。为了帮助同学们尽快捡起“信号与系统”中学习过的，同时学习“数字信号处理”又要用到的重要知识点，每次开课前一周，我都会给学生一套题目，督促他们将前修课程中学习过的相关知识点复习一下，以便为“数字信号处理”的学习扫清障碍。下面给大家分享这套题目。
信号与系统中已学知识点复习题
（一）离散时间信号与系统的时域分析
复习重点：常用离散时间信号的函数表达式、波形图，差分方程的概念，单位冲激响应h(n)的概念、卷积和的物理含义及计算。

（二）傅里叶变换DTFT与z变换
复习重点：离散时间傅里叶变换DTFT的定义、物理含义、性质，z变换的定义与求解，系统频率响应的概念，系统函数的概念。

信号与系统

关于“模拟信号”、“采样信号”、“采样序列”的概念

在学习采样时，“模拟信号”、“采样信号”、“采样序列”的这几个名词比较拗口，它们到底是什么意思？相互之间有什么区别和联系呢？

为什么学习“信号的恢复”（或称为“信号的重构”）？有什么意义？

在分析完采样信号的时频域过程，得出采样定理之后，我们都要紧接着学习“信号的恢复”（或称为“信号的重构”），同学们在学习这部分内容时，经常会疑惑：为什么采样后，又要恢复原来的模拟信号，有什么用？有的同学就直截了当地说，这不是没事找事吗？^^
在实际中，是不可能把一个信号先“采样”，然后就“恢复”的，而是按下面一个流程图进行处理，即对采样并量化（即ADC）后的数字信号按要求进行处理后，在经过DAC，还原为模拟信号输出。学习时，直接将采样信号xs(t)通过理想低通，恢复出原来的模拟信号，只是从原理上分析和验证，满足采样定理的条件下，能够根据离散时间样本完全精确地重构原来的模拟信号。

满足采样定理条件下的理想采样后信号的恢复

模拟角频率和数字域频率的大小写之争

大家在学习“信号与系统”课程时，连续时间信号对应的频域变量用w（小写），而离散时间信号对应的频域变量用W（大写）。但在学习“数字信号处理”课程时，会惊讶地发现，二者反过来了！开始会觉得很不习惯。而且，大家如果去图书馆翻阅一下这两门课程的书籍，发现也是这样的规律：“信号与系统”方面的教材，是连续时间对应的频域变量为w（小写），而离散时间对应的频域变量用W（大写）；而“数字信号处理”方面的教材正好是相反的。为什么这样呢？

关于频域变量的大小写之争，可以说是伴随着“信号与系统”和“数字信号处理”这两门课程的诞生而一直存在的。大家可以这样理解，作为一个函数的自变量，大家觉得用小写字母方便，还是大写字母方便呢？肯定是用小写字母方便。好了，既然这样，“信号与系统”中涉及到频域的部分中，大多数篇幅是研究连续时间信号的，离散时间信号的频域分析只占一小部分，所以它自然选择用小写字母w作为自己最常用的连续时间信号的频域变量。而“数字信号处理”中恰恰相反，大多数篇幅是研究离散时间信号的，所以它就选择用小写字母w作为离散时间信号的频域变量，对于连续时间信号的频域变量，那对不起了，只好用大写字母W了。
最后需要强调的是，模拟角频率和数字域频率，其物理含义是根本不同的，以后会单独撰文进行阐述。

模拟角频率和数字域频率之间的关系如何理解？

模拟角频率W和数字域频率w是数字信号处理中非常重要的两个概念，因为我们经常需要将模拟信号离散化后再进行频域分析，那么，得到的是数字域频率，必须正确地转换为模拟角频率后，才能得到分析对象——模拟信号的频域信息。
模拟角频率W和数字域频率w的关系式很简单，如下式：
w=WT=W/fs
其中，T为采样间隔，单位：秒，fs为采样频率，单位：赫兹Hz，模拟角频率的单位为：弧度/秒，所以，数字域频率单位为：弧度，是无量纲的，其含义为表示序列中相邻两个样本值之间变化的弧度。即：数字域频率是模拟角频率相对于采样频率的归一化频率。
可以从一下两个方面来推出二者的关系式。
（1）根据连续时间正弦信号采样得到离散时间正弦信号来得到
连续时间正弦信号的表达式为xa(t)=cos(Wt)，以T为间隔进行采样，得到离散时间正弦信号
x(n)=xa(t)|t=nT=cos(WnT)，又记为x(n)= cos(wn)，比较两式，显然有，w=WT
（2）根据采样信号的傅里叶变换和序列的离散时间傅里叶变换来得到
我们知道，采样信号xs(t)的傅里叶变换是将连续时间信号的傅里叶变换（以模拟角频率W为横轴）以2π/T为周期延拓得到，而序列的DTFT是以2π为周期（以数字域频率w为横轴），二者本质上是一致的，如下图所示。不同之处在于横轴坐标进行了一个变换，变换关系即为w=WT。

错题解析——傅里叶变换求解

系统的时域分析方法

一、方程的建立

即用数学模型来描述系统，连续时间系统用微分方程，离散时间系统用差分方程。我们的研究对象为LTI（线性时不变）系统，所以描述系统的方程为常系数线性微分/差分方程。这部分内容不是重点。

二、响应的求解及分析

包括四个方面：
1、零输入响应
2、单位冲激响应h(t)/单位样值响应h(n)
3、零状态响应
4、响应模式分析
下面讲以下几个问题：

第一

时域分析的两大前提：第一个前提，任意信号可以分解为冲激信号和（这部分不展开讲，见图2）；第二个前提，讨论的系统具有线性时不变系统，故系统响应可分解为零输入响应与零状态响应之和，零状态响应又可表示为冲激响应的和。简言之，就是“信号的分解，响应的合成”。

第二，关于零时刻：

零时刻：开始研究系统的时刻，也即是激励加入的时刻。0-时刻：激励加入之前的瞬时、0+时刻：激励加入之后的瞬时。
0-状态：0-时刻系统的状态；0+状态：0+时刻系统的状态。
起始点的跳变——从0-到0+状态的转换，是一个难点问题。可以参看郑君里教材。

第三，响应的求解也就是方程的求解。

高数中学习过的微分方程的求解方法（经典法）：全解（全响应）=齐次解+特解。
全响应=零输入响应+零状态响应。
这两者有和区别与联系？
零输入响应、零状态响应：是从“是谁来产生/引起这部分响应”这个角度来分。零输入响应，是输入为零，由系统的初始储能产生的响应；零状态响应，是系统初始储能为零，由外加激励产生的响应。
齐次解、特解：是从“响应模式的形式由谁决定”这个角度来分。齐次解的函数形式只与系统本身特性有关，称为系统的自然响应；特解的函数形式由外加激励信号的形式决定，称为系统的强迫响应。

第四，单位冲激响应/单位样值响应

是特殊的零状态响应，特殊在哪呢？系统初始储能为零，仅由单位冲激信号所产生的响应。
求解方法：连续系统，用冲激平衡法；离散系统，用递推法。

第五，响应的时域求解方法不是重点（这里讲的系统响应的求解，也都可以用拉氏变换、z变换的方法求解），但是难点。

一个简单的问题-欧拉公式

这位同学的问题不是求1/t的傅里叶变换，这个他会求，并且求的也对。他的问题是：为什么j就表示pai/2，-j就是-pai/2
（顺便说一句哈，如果哪位能告诉我怎么在微信里能打出这个东东，而不用插入图片的方式，那就灰常感谢啦）
这个问题是在是简单，但是又实在是很多同学曾经问过我的问题。那么我就回答一下吧。已经知道的同学略过哈。

复数，大家高中就知道了吧。有两种表示方法，一种是z=a+jb，a是实部，b是虚部，第二种是

r 称为模，thita 称为辐角。我们信号课中，通常把r称为“幅度”，thita 称为“相位”。幅度、相位与实部、虚部之间的关系是：

这个上过高中的都知道吧。这样，我们就可以根据一个信号的傅里叶变换，求出它的幅度谱和相位谱。
但是为什么大家会有上述问题呢？关键就是，经常有实部a=0或者虚部b=0的情况，怎么求相位谱呢？
就要用到下面这个了：


画个图一目了然。复数平面上，画个半径为1的圆，与横轴的交点，就是+1和-1，角度就是0和π。与纵轴的交点，就是+j和-j，角度就是π/2和-π/2.

傅里叶级数

二、常用信号的傅里叶变换
冲激信号、阶跃信号、符号函数、直流信号、正弦信号、余弦信号、单边指数衰减信号、双边指数衰减信号、门函数（矩形脉冲信号）、钟形脉冲信号（高斯脉冲）、升余弦脉冲信号、sinc函数等等。以及它们的各阶导数和微分。
这些常用信号，有普通信号，也有奇异信号；有满足绝对可积条件的，也有不满足绝对可积条件的。它们的傅里叶变换的求解，分为三种情况：
第一种，直接利用定义式求解；第二种，利用已有的变换对和性质求解；第三种，特殊方法（比如阶跃信号u(t)、符号函数等）。
有些要记住、有些（比如双边指数信号、钟形脉冲、升余弦脉冲等）要能推导出来。

常用信号的傅里叶变换对

第一条线：从冲激信号出发。

利用时域微分特性，可推出高阶冲激信号的FT。
利用时移特性，可以推出移位的冲激信号的FT。
利用对称性，可推到出直流1的傅里叶变换；再利用频域微分，可推出t的FT；利用频移特性，可推出虚指数信号的傅里叶变换，再利用欧拉公式，可推出正余弦信号的傅里叶变换。

第二条线：从因果的单边指数衰减信号的FT出发。

令t=-t，可推到出反因果（左边）的指数衰减信号的FT；二者结合，可推出双边的指数衰减信号的FT，包括两种，一种是偶对称的双边指数信号，一种是奇对称的双边指数信号。
令a→0，可推到出阶跃信号u(t)的傅里叶变换。注意，除了1/jw之外，还有一项冲激函数。
从双边指数衰减信号的FT出发，令a→0，可推到出直流1的FT和符号函数的FT。再利用符号函数与阶跃信号的关系，又可以推到出u(t)的FT；或者利用对称性，可以推到出1/t的FT。

第三条线：从矩形脉冲信号的FT出发。

幅度为1/τ的矩形脉冲，令脉宽τ→0，得到冲激信号的FT；
利用对称性，可推到出时域sinc信号的傅里叶变换；
利用时域卷积特性，把两个宽度相同的矩形脉冲做卷积，可推导出三角脉冲的FT；把两个宽度不同的矩形脉冲做卷积，可推到出梯形脉冲的FT。

傅里叶变换的性质

利用傅里叶变换这个工具，我们可以从信号的时域描述（以时间t为自变量的函数x(t)）得到它的频域描述（X(jw)），反之亦然。傅里叶变换的性质就是研究这两个域——时域和频域之间的对应关系，什么对应关系呢？我们可以用两句话来总结，第一句话，一个域中的某些特性在另外一个域中对应什么特性？第二句话，一个域中的某种运算在另外一个域中发生什么变化？具体来说，哪些特性、哪些运算呢？比如，奇偶对称特性、展缩运算、平移、积分/微分等等。
任何一本教材上，都有傅里叶变换性质的列表，这里不面面俱到。重点讲以下几个：

展缩特性

矩形脉冲信号的傅里叶变换对能特别直观地展现展缩性质。

矩形脉冲的脉宽增大，时域上，非零值的时间范围增加；频域上，频谱更集中在频率原点附近。即“时域扩展，频谱压缩”，反之亦然。磁带放音的例子形象而生动。展缩特性，从理论上证明了时域与频域的相反关系，也证明了信号的时宽带宽积等于常数的结论。通信中，若要压缩信号的持续时间，则信号的带宽就要展宽。要压缩信号的有效频带，就不得不增加信号的持续时间。
一般而言，时域有限，频谱无限，反之亦然。不存在时域和频域都有限的信号。

时移频移特性

时域平移，对应频域，幅频特性不变，相位谱产生附加的线性变化（+wt0）。所以波形的形状不变，因为各个频率分量的相对大小关系不变（对应幅度谱不变）、在时间轴上的相对位置关系也不变（对应相位增加一个wt0，和w成线性关系）。
频移呢，频谱的搬移是通信系统中应用广泛的技术，例如调制、解调、变频等，都是在频移的基础上完成的，频移特性是其理论基础。
利用频移特性，我们可以推导出虚指数信号、正弦余弦信号的傅里叶变换。这三个信号都是不满足绝对可积条件的，其傅里叶变换中都存在冲激函数。

微分特性

时域微分特性和频域微分特性，可以用来求解利用公式不能或者不易求解的变换对，比如冲激偶函数、tu(t)等等。
微分特性，在系统的频域分析中很重要。因为描述连续时间系统的是微分方程，我们可以想到，傅里叶变换的方法，必将在微分方程求解（即系统响应求解）、系统分析中大有用武之地。

积分特性

积分特性也是主要用来求解一些比较复杂的信号的傅里叶变换。但是应用的时候要注意，不能把积分特性当做微分特性的倒过来，而要注意其中的直流分量，否则就会出错。

傅里叶变换的时域微分和积分特性的易错点

对称特性（互易性）

最后来说一说这个神奇而美丽的性质。
如果某个信号，在时域上有某种红色的特性，它在频域上有蓝色的特性，而另外一个信号，在时域上有这种蓝色的特性，那么它在频域上，就会以某种类似于刚才那种红色的特性表现出来。
很多变换对体现了这一点。
比如，时域上的冲激信号，频谱是1；而时域上的直流1，对应频谱为2π乘上冲激函数。
再比如，时域上的矩形脉冲，频谱为sinc函数；而时域的sinc信号，频谱为矩形函数。
很多傅里叶变换的性质也体现了这一点，比如时移特性与频移特性、时域微分与频域微分，等等。

最后，提一下傅里叶反变换的求解方法，有以下三种：

• 利用傅里叶反变换的定义式求解
• 利用FT的性质求解
  特别提一点，互易对称性。
• 部分分式展开法
  部分分式展开法，不仅仅是傅里叶反变换的求解方法之一，也是后面的拉氏变换、z变换的反变换求解方法。

一道利用“时域积分特性”求解的题目

周期信号的傅里叶变换

周期信号，不满足绝对可积，如果带入到傅里叶变换的公式里，积分是不收敛的，那是不是就意味着，周期信号的傅里叶变换不存在呢？不是的。我们前面在讲解傅里叶变换的性质时，已经求解出了正余弦信号的傅里叶变换对，发现它们的傅里叶变换中有冲激函数，所以，通过引入冲激函数，不满足绝对可积条件的周期信号，也可以用傅里叶变换来表示。这样，傅里叶变换就把傅里叶级数统一起来了。
傅里叶级数和傅里叶变换之间到底是什么关系呢？用下图很容易理解二者的关系。

周期信号的傅里叶变换是一系列强度为2πXk，发生在谐波频率kw0上的冲激串的线性组合，仍是离散谱。

可以推导出一个非常重要、非常有趣、非常美丽的一个变换对，如下图

一道关于采样的题目

、

LTI系统的频率响应

一、频率响应

系统的频率响应H(jw)就是单位冲激响应h(t)的傅里叶变换。它体现了系统对输入信号频谱的变换作用，体现了系统的频域特性。为什么这么说呢？为什么h(t)的傅里叶变换就能这么牛?就能担此重任呢？
回想一下h(t)是什么？h(t)是系统对单位冲激信号的响应。而单位冲激响应是时域分析的基本信号，任何一个连续时间信号，都能分解成单位冲激信号之和的形式。所以，h(t)就能反映系统时域的基本特性。
那么，频域的基本信号是什么呢？频域的基本信号是虚指数信号。所以首先来看频域分析的基本信号（也就是虚指数信号）通过LTI系统后的响应（此部分内容在FS部分已经讲过了）。

也就是说，频率为w的虚指数信号通过系统后，依然是频率为w的虚指数信号，但幅度（是复数幅度）发生了变化——乘以H(jw)。所以H(jw)才能担此重任，它才能代表系统频域的特性，它才能够体现系统对输入信号的频谱的变换作用。
从上图中的结论出发，还可以推导出正弦信号cos(w0t)通过系统之后的响应。推导过程如下图所示。注意这里有个前提，系统为实系统（也就是h(t)是实函数，所以它的FT即H(jw)是一个共轭对称函数，即模式偶函数、相位是奇函数）。cosw0t通过系统之后，依然是频率为w0的正弦，但模和相位改变了，模乘了频率响应H(jw)在w0处的取值的模，相位增加了一个角H(jw)在w0处的取值。利用这个式子，来理解“系统是一个频谱变换器”很方便。
理解频率响应的概念，不管是从对物理概念的理解，还是从做题的角度，都非常重要。

考研题1

详解过程

考研题2

为了防止误导大家，我在上图中画了个半对号。为什么说半对呢？如果我们定义幅度谱为频率响应函数的模值的话，那么它就一定是正值，而Sa函数的值有正有负（主瓣和第二、四、六…旁瓣值为正，而第一、三、五…旁瓣值为负）。
也就是说，幅度谱应该是Sa函数的绝对值，那么相位谱呢？也就不再是-Tw/2这么简单了。我们知道：

解释一下上图，当Sa小于零时，相位为什么是加上或者减去Π呢？我们知道，+Π和-Π相差一个2Π，而角度差2Π，是没有差别的（因为e^(j2Π)=1）。那我为什么规定w>0时+Π，而w<0时-Π呢？无非是为了遵从相位谱奇对称这一特点。

从上图我们会发现，本来很简单的-wT/2，表示形式变得很麻烦。而这一麻烦，是我们自找的，因为我们非要幅度谱为正。能不能不自找麻烦呢？当然可以，那就放宽条件，我们允许幅度谱为负（只要它是实函数就OK了）。为了避免混淆，给出另外一组名词**——幅度函数和相位函数**。上题中，采用幅度函数和相位函数，如下图，就可以打对号了。

在信号处理实际应用中，“幅度函数、相位函数”这样的描述系统频响的方式更为方便、从而更为常见。比如数字信号处理中的线性相位滤波器中的“相位”就指的是允许幅度函数可正可负的情况下得到的“相位函数”。

但是，问题是，题目中是让画“幅频特性和相频特性曲线”，而信号与系统课程中一般指的是**“幅度谱”和“相位谱”**，那应该怎么画图呢？

幅度谱就没必要再说了，把Sa取个绝对值就OK了。负的变成正的就行了。关键是相位谱，怎么改？见下图。

以w的正半轴为例进行分析，在0-2Π/T、4Π/T-6Π/T、8Π/T-10Π/T…范围内（对应幅度谱的主瓣以及第二、四…旁瓣），相位谱为斜率-T/2的过原点斜线；而在2Π/T-4Π/T、6Π/T-8Π/T…范围内（对应幅度谱的第一、三…旁瓣），相位谱要在上述斜线的基础上向上移动Π。w负半轴的情况类似，只不过“向上移动Π”改为“向下移动Π”。

但是，大家注意到了吗？我在图上加了一行小字“不常用的形式”。为什么呢？常用的形式见下图。

是不是好看多了？有同学可能不服气了，凭啥呀？对比图10和图9，差别在哪里？图10的相位都限定在了±Π之间。图9中，超出±Π范围的相位，都通过加上或者减去2Π的整数倍，把它强制变到±Π之间。前面解释过了，角度差2Π，是没有差别的（因为e^(j2Π)=1）。所以，我们说，图10和图9，没有差别，除了图10更好看。那我们当然用好看的啦。所以，大家见到的相位谱，都是长图10这个样。

费了大量的篇幅，把第一问解决了。第二问比较简单，没什么好说的，直接给出两种做法。

考研题3

零状态输出Y(jw)=输入X(jw)×频率响应H(jw)，一定成立吗？

学过信号与系统的人都知道下面两个结论：
*时域上：输出y(t)=输入x(t)单位冲激响应h(t)；
频域上：输出Y(jw)=输入X(jw)×频率响应H(jw)。
但是我们不能忘记这两个结论得出的前提：针对LTI（线性时不变系统）。也就是说，如果不是线性时不变系统，上述两个“=”是不成立的。
下面看一道题目：

【解答】
（1）既然是求单位冲激响应，那毫无疑问，我们令输入为单位冲激信号，此时的输出就是所求了。

得出这个结果之后，我们心中不免一惊，咦？为何求出来的h(t)就等于框框中的hl(t)呢？这不科学呀，前面还有与cos相乘的部分呢？难道没起作用？

我们先暂且收起疑问，继续往下做。

（2）毫无疑问，我们需要从频域出发来求解，先求输入信号f(t)的傅里叶变换。

有的同学就说了，输入信号是个带通信号，频谱位于w0附近，而系统的频率响应是个低通，带宽既然为2wc，而w0远大于wc，这说明信号全部对过滤掉了。把图3中的F(jw)与图2中的 H(jw)相乘，也会得到输出为0。

但是，从系统的处理过程来看，把频谱以w0为中心的带通信号，与cos(w0t)相乘，频谱会搬移回w=0附近，从而变成低通信号。再通过理想低通滤波器。这就是解调的过程啊。如下图。

两种分析为何结论不同？哪种对？

显然，图4的方法是对的。此题不能运用“Y(jw)=X(jw)×H(jw)”这个关系式，为什么呢？因为这个系统是时变系统，而“Y(jw)=X(jw)×H(jw)”这个等式，是根据“y(t)=x(t)*h(t)”利用傅里叶变换的时域卷积定理得出的。对于时变系统，“y(t)=x(t)*h(t)”就是不成立的，“Y(jw)=X(jw)×H(jw)”当然也不成立了。

二、LTI系统中信号的传输

从频域角度看系统的传输作用，就是对输入信号中每个频率成分改变的情况，这种改变包括两方面：幅度的改变（大小关系）和相位的改变（在时间轴上的位置关系），即系统起到频谱变换的作用。
这种传输分为两种情况。
第一种情况是“不改变”，也就是输入信号中的各个频率成分通过系统之后不发生变化（幅度不变，即相对大小关系不变；相位也不变，即位相对置关系不变），此时输出信号的波形形状不变，称为“无失真传输”。
无失真传输的条件：系统的幅频特性|H(jw)|为常数，相频特性为线性相位。如下图。

第二种情况当然就是“改变”了，输出信号的波形与输入信号相比，形状变了，也就是信号发生了“失真”，分为“幅度失真”和“相位失真”。幅度失真是由于|H(jw)|不是常数而导致信号中各个频率成分的相对大小关系改变而引起的失真，相位失真是由于系统不是线性相位使得信号中各个频率成分的相对位置关系变化了而引起的失真。

三、滤波器

通过系统改变信号中各频率分量的相对大小和相位，甚至完全去除某些频率分量的过程称为滤波。
一般来说，要求大家会正确地写出各种理想滤波器的频率响应，并且会求解相应的单位冲激响应。


分析：
这三道题目，第一题输入未限定时间范围， -∞< t <+∞，也就是输入从 -∞时刻作用于系统，而后面两题，均限定输入从0时刻作用于系统。第三题所求的响应为稳态响应。
第一题，可以利用我们前面推导出来的结论

角频率为w0的正弦信号，通过系统后依然是角频率为w0的正弦信号，只是幅度和相位上会变化：幅度上乘以系统幅频特性在w0处的取值，相位上增加一项——系统的相频特性在w0处的取值）很容易得到计算结果，而第二题的输入有u(t)，则不能用此公式。 计算可能比较复杂。那我们就从下面一个基本问题入手。
某因果的LTI系统的频率响应为



两种方法的结论是相同的。显然，复频域的方法更加简洁明了。
结论：

这个也很好理解，稳态响应是t→+∞时的响应，此时输入里面有没有u(t)的限制已经没有区别了。

数字信号处理中的采样与信号重建

一、区别两组名词

首先，来聊一聊“连续时间信号”、“离散时间信号”和“模拟信号”、“数字信号”这两种说法之间的区别和联系。前者，着眼点在于“时域（函数自变量）是否连续”，后者着眼点在于“函数取值是否连续”。通常，我们把自变量和函数取值都连续的称为模拟信号，而把自变量和函数取值都离散的称为数字信号。下图展现了从模拟信号到数字信号的过程。蓝色曲线为模拟信号（当然，这也是一个连续时间信号）；等间隔抽样后，得到蓝色圆点，为离散时间信号；在对它进行量化处理（图中所示为量化位数为三位），得到红色圆点，为数字信号。

二、数字信号处理系统的模拟接口

下图是一般的数字信号处理系统的结构框图。中间的这部分“通用/专用计算机”来完成对数字信号的处理。它的前面（红色框框），需要把模拟信号转换成数字信号，它的后面（黄色框框），又需要把处理后的数字信号，转换为模拟信号。

首先来看前面，从模拟信号→数字信号。
由两部分组成，第一部分是“抗混叠滤波器”，这是一个低通的模拟滤波器。它的功能是滤除模拟信号中高于抽样频率一半的频率成分，为了确保满足采样定理。
第二部分是“AD转换器”，又分为两步来完成。第一步是“采样保持”。下图3是采样保持电路的原理图。输入信号是经过抗混叠滤波器后的模拟信号，控制信号是窄脉冲，高电平时开关合上，输出跟随输入的变化而改变，低电平时开关断开，输出保持断开前一瞬间的值。这样，我们就可以把这些值取出来，作为模拟信号的离散样值。这样就实现了从模拟信号到离散时间信号的转换。
然后，就是第二步“量化和编码”，来实现从离散时间信号到数字信号的转换实际应用中，用“ADC”（模数转换器）封装了红色虚线框中的这两部分。并且，大多数DSP芯片，内部也自带了ADC来实现从模拟信号到数字信号的转换。

然后，再来看后面，从数字信号→模拟信号，黄色虚线框里的。同样是两部分。
第一部分，DA转换，利用“零阶保持内插”实现。在两个离散样值之间，保持前一个样值的取值不变，直到下一个采样时刻，跳变成下一个离散样值。所以，经过零阶保持内插后，得到的是这样一些台阶状的，（图4中的y三角t）但已经是连续时间信号了。
但是这个连续时间信号显然不令人满意，因为它太不光滑了，所以需要第二部分“平滑滤波器”来让它变得光滑一点，“平滑滤波器”同样是一个低通的模拟滤波器，滤除掉零阶保持内插后的信号中的高频的成分，使得陡峭的边沿变得平滑。
上面所讲的是数字信号处理系统中的与模拟世界的接口，这与我们信号与系统中所学的有何联系呢？看下图5，这是信号与系统中简化的理论模型。理想采样器（例如冲激串抽样）是实际的ADC的简化版的理论模型，理想内插（也就是我们前面所说的用理想低通滤波器实现信号的重建）是DAC的简化版的理论模型。换句话说，ADC（模数转换器）是采样量化的工程实现，DAC（数模转换器）是内插（信号重建）的工程实现。

采样信号和采样序列的时频域表示

时域表示，如图。第一幅图，模拟信号xa(t)，当然这也是一个连续时间信号；第二幅图，理想冲激串采样后的采样信号xs(t)，注意，这里变量依然是t，是连续时间；第三幅图，采样后得到的离散样值，我们称之为采样序列，也就是离散时间信号x(n)。从图形上看，xs(t)的一串箭头，变成了x(n)的一串火柴棒，从表达式上看，xs(t)很复杂，很难懂，很故弄玄虚，而x(n)很简单，很实在。X(n)其实就是xs(t)这一串箭头前面的系数xa(nT)的简写形式。注意，这里自变量悄悄地发生了变化，不再是t，而是n。t是怎么变成n的呢？n等于t除以T（采样间隔），也就是说，n只是个序号，是无量纲的，而t是以秒为单位的。所以说，离散时间变量n是连续时间变量t相对于采样间隔T的归一化。

如果说，这些都太简单了，太自然而然了，那么看下面的图，频域表示。

说明，这里采用数字信号处理课程中的符号习惯，连续时间对应的频域变量用大写的Ω，离散时间对应的频域变量用小写的w）
第一幅图，模拟信号的频谱；第二幅图，采样信号xs(t)的频谱（将模拟信号的频谱进行周期延拓，延拓的周期为2π/T）；第三幅图，离散时间信号x(n)的频谱。注意，横轴也悄悄滴发生了变化，大写的Ω（模拟角频率）变成了小写的w（数字域频率），二者什么关系呢？第二幅图中的周期为2π/T，而第三幅图中，离散时间信号的傅里叶变换（DTFT）都是以2π为周期的，也就是说，2π/T变成了2π，所以，模拟角频率乘以采样间隔T（也就是除以采样频率fs）得到数字域频率。总结成这样一句话，数字域频率是模拟角频率相对于采样频率的归一化，它同样是一个无量纲的东西。这些呢，是数字信号处理课程中的一个重要的知识点，也是学习DFT（离散傅里叶变换）的基础。

经常出现在考题中的三种时域采样模型（第一部分）

几乎没有哪一套考研题中会没有采样的内容。今天不解答具体的题目，我们来归纳总结一下。还是那句话，题目千差万别、成千上万，但理论就那些，万变不离其宗，真正理解了掌握了，才能以不变应万变。



对比一下图4中的Xs(w)与图2中的Xs(w)，都有tal/T的系数，都是X(w)的周期延拓。不同之处呢？本质的不同在于加权的系数，图2是Sa函数在kws处的取值，而图4是Sa函数。

总结一下平顶抽样与曲顶抽样的异同之处：

相同之处，都是对原来连续时间信号频谱进行幅度加权的周期延拓。但：曲顶抽样（弯的xs），延拓的每个周期，所乘的加权系数是Sa函数在该位置（kws）处的取值，也就是说，任意一个位置处的频谱，与原连续信号的频谱相比，只是差一个常数。
而平顶抽样（直的xs），所乘的加权系数是Sa函数。也就是说，任意一个位置处的频谱，与原连续信号的频谱相比，发生了变形。
好了，三种抽样模型分析完了。这三种情况下的得到的抽样信号，如何才能重建原来的连续时间信号（也就是信号的恢复）呢？

拉普拉斯变换

一、拉氏变换的定义

不满足绝对可积的信号（例如指数增长信号），不存在傅里叶变换。怎么办？将x(t)乘上指数型函数，再求傅里叶变换：

下图f是傅里叶变换和拉氏变换的定义式：形式类似，本质不同，不同在于，变量w是实变量，而s是复数变量。这样的一个改造，使得拉氏变换要收敛，对信号x(t)的要求，比傅里叶变换放宽了。

二、拉氏变换的收敛域

拉氏变换依然是一个无穷限的积分，所以也要考虑积分是否收敛，也就是拉氏变换是否存在。
使得拉氏变换X(s)存在（即x(t)e^dt的傅里叶变换存在）的s的范围（即s的实部d的范围），称为收敛域（Region Of Convergence），简写为ROC。

图4是三个信号（右边的指数信号、左边指数信号、双边指数信号）（他们代表了典型的三类信号）的拉氏变换及其收敛域的表示。可以总结出如下规律：
右边信号的收敛域是右边收敛；
左边信号的收敛域是左边收敛；
双边信号的收敛域是带状收敛。
注意到，前两个信号的拉氏变换表示形式时相同的，都是1/s-a，但是收敛域截然不同，一个是收敛轴的右侧，一个是收敛轴的左侧。也就是说，拉氏变换，只有和收敛域捆绑在一块儿，才能和x(t)一一对应。再一个需要注意的是，双边信号的拉氏变换要存在，条件比较苛刻，要求a

收敛域的分析，增加了拉氏变换的复杂性，显然这种复杂性是试图既要处理因果信号，又要处理非因果信号而造成的。 如果我们仅仅研究因果信号的话，问题就简化了。所以又有单边拉氏变换，与前面的定义式相比，只是积分下限发生了改变，由负无穷改为了0-，注意不是0，而是0-。这是为了包含0时刻信号值有跳变或者冲激的情况。

拉氏变换与傅里叶变换相比，可研究信号的范围扩大了。一些不满足绝对可积条件的信号（比如指数增长信号等），傅里叶变换的积分式不收敛，而拉氏变换的积分式就可以在一定的范围内（收敛域内）存在。当然，也有些信号的傅里叶变换存在，而拉氏变换不存在，比如直流信号x(t)=1、符号函数sgn(t)，它们虽然不满足绝对可积，傅里叶变换的积分式不收敛，但傅里叶变换也存在；但是这两个信号的拉氏变换不存在。但是这一类信号（傅里叶变换存在、拉氏变换不存在的）都是些特殊的信号，对于更为常用的指数信号而言，拉氏变换的范围比傅里叶变换扩大了，傅里叶变换只能求解指数衰减信号，而拉氏变换指数衰减、指数增长都可以。
但是拉氏变换与傅里叶变换相比，也存在这么一个问题：如果不指明收敛域、X(s)自己不能和时域信号一一对应，增加了问题的复杂度。
显然这种复杂度的增加，是由于拉氏变换试图既要处理因果信号、又要处理非因果信号而造成的。如果将研究对象限定为因果信号，拉氏变换中的积分下限就可以改为0，这就是单边拉氏变换，而与之对应的，之前导出的积分限从负无穷到正无穷的，称为双边拉氏变换。可见，单边拉氏变换的收敛域只有“右边收敛”这一种情况。

其实呢，单边拉氏变换只能处理因果信号。因为如果信号x(t)为非因果信号，对它做单边拉氏变换其实就丢掉了t<0的信息，也就是相当于求的是x(t)u(t)的拉氏变换。所以，单边拉氏变换又记为“x(t)u(t)的拉氏变换”。
还有一个问题，积分下限0，到底指0-还是0+？存在两种理解，分别称之为“0-系统”和“0+系统”。一般来说，我们采用“0-”的这种定义，有两个好处：一个是，如果t=0时刻存在冲激，0-的这种定义，拉氏变换就可以把冲激包含在内；第二个好处是，系统的初始状态一般是指0-时刻的状态，这样，0-的这种单边拉氏变换定义就与之一致了，应用在系统的复频域分析中会非常方便。

三、常用信号的拉氏变换

下图中的表格给出了一些常用信号的拉氏变换，并且最右边一列给出了傅里叶变换，以方便大家进行对比学习。注意到这样一个规律，分为如下三种情况：
第一种情况：如果拉氏变换的收敛域包含虚轴，则拉氏变换和傅里叶变换都存在，并且将拉氏变换中的s替换成jw，即为傅里叶变换。（可以这样理解，此时信号本身就是收敛的，满足绝对可积的，所以不需要对它进行衰减，所以s中的d可以取0。）
第二种情况：如果拉氏变换的收敛域不包含虚轴，并且也不以虚轴为边界，例如指数增长信号，这种情况下，傅里叶变换不存在。
第三种情况：如果拉氏变换的收敛域不包含虚轴，但是以虚轴为边界，例如表中的u(t)、sin(wt)u(t)等，拉氏变换和傅里叶变换都存在，但傅里叶变换中除了将拉氏变换的s换成jw的那一项之外，还另外包含冲激。这种情况下，信号的时域特征表现为不满足绝对可积，但是也不是一直增长，而是一直为常数（例如u(t)）、或者等幅度的震荡、或者按照低于指数阶的增长（如tu(t)）。

四、单边拉式变换的性质

拉氏变换的性质，本质上也是反映了时域与复频域的对应关系。在学习和复习时注意和傅里叶变换的性质做对比，有类似的，有差异较大的。在这里不再一一罗列。
特别注意的是“时域微分特性”，如下图所示。这个性质在微分方程的求解中发挥重要作用。因为它可以把系统的初始条件包含在其中，所以可以求解系统的全响应。

五、拉氏反变换

拉氏反变换的求解方法，分为三种：

• 第一种，直接利用反变换的定义式求解。显然，这是一个复变函数的积分，可以利用留数定理来求解。
• 第二种，利用常用的拉氏变换对和拉氏变换性质求解。
• 第三种，当X(s)为有理分式时（这也是我们在分析LTI系统时经常遇到的情况），利用部分分式展开法。

拉普拉斯变换——单边、双边

1、性质上的不同

单边拉氏变换与双边拉氏变换在下列各项性质中，都有或多或少、或明显或隐蔽的不同。

2、应用上的不同

单边拉氏变换，可以用于求解描述微分方程的全响应，但前提是系统为因果系统。这方面的例题教材上都有，这里不再赘述。下面看这样一道题目，即可以用单边拉氏变换求解，也可以用双边拉氏变换求解。求解结果相同、过程不一样，非常直观地体现了单边、双边拉氏变换的不同。

连续时间系统的复频域分析

一、利用单边拉氏变换求解LTI系统的响应

1、微分方程的求解

描述连续时间LTI的是常系数的线性微分方程，也就是，由y(t)以及y(t)的各阶导数和x(t)以及x(t)的各阶导数，乘上相应的系数（常数），加加减减组合成的等式。这个时候，拉氏变换的时域微分特性就大有用武之地了。
方程两边取单边LT，利用LT微分性质，就将时域的微分方程，转变成了s域的代数方程（由X(s)、Y(s)以及系统的初始状态y(0-)、y’(0-)…组成），这样，做一个简单的代数运算，就可以求出Y(s)，再求反变换就得到y(t)，这个y(t)是全响应。

如果要分别求解零输入响应和零状态响应，也很容易。要在求解过程中就分开，看下题，把X(s)放在一堆，初始状态y(0-)、y’(0-)…等等放在一堆，那前者就是零状态响应的拉氏变换，后者就是零输入响应的拉氏变换。

2、电路系统的求解

当然可以先列出电路系统的微分方程，然后利用s域求解方法求解之。但更简便的方法是，利用电阻、电容、电感的复频域等效模型替换，将电路转换为复频域的等效电路，直接列出代数方程。
下图4是电阻、电容和电感的时域及复频域的等效模型。

这样，将电路系统转换成s域的等效模型之后，利用KVL或KCL列出方程（这个就是代数方程了），求出Y(s)，再求拉氏反变换即可得出y(t)。

二、利用系统函数分析系统特性

1、系统函数

系统函数H(s)是谁？
H(s)与h(t)的关系：是单位冲激响应h(t)的拉氏变换；
H(s)与输入/输出的关系：是Y(s)/X(s)；
H(s)与H(jw)的关系：H(jw)=H(s)|s=jw
H(s)与微分方程的关系：
H(s)与极零点图的关系：
H(s)与系统框图、流图的关系：

2、稳定性分析

定义：输入有限，则输出一定有限（BIBO）
从时域上看：h(t)满足绝对可积
从复频域上看：
收敛域：包含虚轴
极点位置：对于因果系统，所有极点均位于左半平面
劳斯——霍尔维茨准则（但是需要注意，只适用于判断连续时间因果系统的稳定性，而且必须计算到n+2行才有意义）

若系统为高阶系统，极点不容易求解出来，这是，就可以采用劳斯——霍尔维茨稳定性判据。
这部分内容实际上是属于自动控制课程的内容，但有些学校的信号与系统中也要求掌握。其实说实话，在计算机技术如此方便的今天，求解高阶方程的特征根也易如反掌。我个人认为没有必要再要求学生去死记硬背这种稳定性判据繁琐的准则。所以，我在网易云课堂上线的“信号与系统”课程中没有讲解这部分内容。但是，不排除有些学校依然把它作为考试内容，所以这里对它进行讲解，作为补充。同学们可以根据自己学校的要求进行取舍。具体内容听下面的讲解。

劳斯-霍尔维茨稳定性判据

3、系统函数极零点对滤波器特性的影响

系统的幅频特性=各零点矢量长度之积/各极点矢量长度之积
系统的相频特性=各零点矢量相角之和 - 各极点矢量相角之和

极点对幅频特性的影响——极点增强增益。
极点对频率选择性的影响是：使得w0处的增益增强。
随着极点愈靠近虚轴（a减小），增强效果愈明显。如果是高阶极点，增强效果也愈明显。
共轭极点的存在并不会显著改变w0附近的频率选择特性。

零点对幅频特性的影响——零点抵消增益。
零点对频率选择性的影响是：使得w0处的增益减小。
随着零点愈靠近虚轴（a减小），减弱的效果愈明显。当零点在虚轴上时，使w0处增益为零。

三、系统框图与实现

梅森公式是桥梁，可以很方便地在系统函数和流图或框图之间转换。在自动控制、数字信号处理等课程中也有应用。因为内容比较简单，这里不再赘述。

拉普拉斯的其人其事

拉普拉斯，也是法国人，而且是一位侯爵。法国数学家、天文学家，法国科学院院士。是天体力学的主要奠基人、天体演化学的创立者之一，他还是分析概率论的创始人，因此可以说他是应用数学的先驱。

1749年3月23日生，1827年3月5日卒，活了近78岁，在那个人均寿命不到40岁的年代算是高寿了。

他的经历很丰富。据说，拉普拉斯的父亲是一位农场主，但他家境贫寒，靠邻居的周济才得到读书的机会。16岁时进入开恩大学，并在学习期间写了十篇关于有限差分的论文。学业完成之际，他带着一封推荐信去巴黎找当时法国著名学者达朗贝尔，但被后者拒绝接见。拉普拉斯就寄去一篇力学方面的论文给达朗贝尔。这篇论文出色至极，以至达朗贝尔忽然高兴得要当他的教父，并使拉普拉斯被推荐到军事学校教书。 拉普拉斯事业上的辉煌时期便从此开始。1773年，年仅24岁的拉普拉斯被选为法国科学院副院士；1783年任军事考试委员，并于1785年主持对一个16岁的惟一考生进行考试，这个考生就是后来成为皇帝的拿破仑(Nopo1eon)；所以，后人称他曾任拿破仑的老师，并且后来被拿破仑任命为内政部长，元老议员并加封伯爵。拿破仑下台后，路易十八(LouisXVIII)重登王位，拉普拉斯又被晋升为侯爵。

拉普拉斯才华横溢，著作如林，在青年时代就发表了一系列的论著。24岁当选为法国科学院副院士，科学院在一份报告中曾这样评价他:还没有任何一位像拉普拉斯这样年轻的科学家能在如此众多如此困难的课题上，写出如此大量的论文。
拉普拉斯的研究领域是多方面的，有天体力学、概率论、微分方程、复变函数、势函数理论、代数、测地学、毛细现象理论等，并有卓越的创见。他的代表作有：《宇宙体系论》、《分析概率论》《天体力学》。

《宇宙体系论》(1796年)是一本解释宇宙的、文字通俗的科普读物。他所提出的太阳系生成的星云假设说就收集在此书的附录里。这一假说1755年康德(Kant)虽已述及，但康德主要是从哲学的角度加以考虑的，而拉普拉斯则是从数学、力学的角度进行推导的，这不但充实了星云假说的内容，而且作出了详细的科学论证。因此，人们常把这一假说称为“康德-拉普拉斯星云假说。”

《分析概率论》(1812年)汇集了40年以来概率论方面的进展以及拉普拉斯自已在这方面的发现，对概率论的基本理论作了系统的整理，他在该书的引言中写道：“归根到底，概率论只不过是把常识化成计算而已。”这本书包含了几何概率、伯努利定理和最小二乘法原理等。著名的拉普拉斯变换就是在此书中述及的。1814年他还出版了《概率的哲学探讨况》，他被公认为是概率论的奠基人之一。

《天体力学》共有五卷，可以说是一部巨著，把牛顿、达朗贝尔、欧拉、拉格朗日诸位大家的天文研究推向了高峰。用拉普拉斯自已的话来说，写这部书的目的在于对太阳系引起的力学问题提供一个完全的解答。它吸取了前人的大量成果，给予天体运动以严格的数学的描述，对位势理论同样作站了数学刻画。这对后来物理学、引力论、流体力学、电磁学以及原子物理等，都产生了极为深远的影响。这部巨著使他赢得了“法国的牛顿”的美称。

但是，在拉普拉斯的著作中，他常常完全不提前人和同时代人的论述与功绩，给人的印象是其著作中的思想似乎完全出自于他本人。例如，他在《天体力学》中不声不响地从拉格朗日那里取用了位势概念，并把这一概念用得十分厂泛，以致从他那时起，势论中的基本微分方程被人称作拉普拉斯方程。他在《分析概率论》中，引用别人的成果也不提及别人的名字，而是把它们同自己的成果混在一起。他的这些品格遭到了后人的非议。

同时，他在政治上是个小人物、墙头草，彻头彻尾的机会主义者。在法国大革命时期，随着政局的动荡、改朝换代，他也随波逐流，反复不断地扮演了共和派与保皇派的双重角色。而且他有一种天赋的本事，能够机灵地使敌对的双方在不论哪一方上台掌权时，都相信他是自己的一个忠诚的支持者，因此每次改宗后他都能获得更好的差使和更大的头衔。为此有人把他比做英国文学作品中的假圣人布雷牧师。拿破仑在流放期间说过：“拉普拉斯是第一流的数学家，但事实很快表明他不过是一个平庸的行政官员，……他把无穷小精神带进了政府之中。”

拉普拉斯虽有上述缺点，但作为一个科学家，在席卷法国的政治变动中，包括拿破仑的兴起和衰落，都并末显著地影响他对科学的研究。另外他也能慷慨帮助和鼓励年轻的一代。例如，化学家盖·吕萨克(Gay Lussac)、旅行家和自然研究者洪堡尔晓(Hum-boldt)、数学家泊松(Poisson)、柯西都曾得到过他的帮助和鼓励。他学识渊博，但学而不厌。他的遗言是：“我们知道的是微小的，我们不知道的是无限的。”

离散时间信号与系统的频域分析（一）

前面已经总结了连续时间信号与系统的时域分析、频域分析和复频域分析。离散时间信号与系统，只总结了时域分析。这一次课，我们来给大家总结离散时间信号与系统的频域分析。这部分内容，是与“数字信号处理”课程衔接最为紧密的一部分内容，有些学校的“信号与系统”课程中不包含这部分内容，而是把它放入“数字信号处理”课程中，但有些学校包含，并且也把它作为考试要求的内容之一。

按照研究对象“信号”、“系统”，同样可以分为两部分：一是离散时间信号的频域分析；二是离散时间系统的频域分析。

一、离散时间信号的频域分析

分为三部分内容：离散时间傅里叶级数、离散时间傅里叶变换、几种傅里叶变换的总结。
注意与连续时间信号的频域分析进行对照。借鉴连续时间信号频域分析的研究思路，同时注意它们的不同之处。

1、离散时间傅里叶级数DTFS/DFS

与连续时间周期信号的傅里叶级数研究思路是完全相同的。现在我们的研究对象是离散时间的周期信号x(n)，周期为N，把周期的倒数再乘以2π，也就是2π/N称为基频，记为Ω0。首先要找一组正交信号集，在这组正交信号集上把它进行正交展开，然后求解系数ak。

第一个问题：这组正交信号集是什么？同样是角频率为基频的整数倍的虚指数函数（离散时间的虚指数函数）

这样，我们就可以轻轻松松地写出离散时间傅里叶级数的展开式形式，如下图3

有两种形式，一种是没有系数1/N，另外一种是有系数1/N。前一种（没有系数1/N的），更侧重于在信号与系统课程中采用，因为和连续时间周期信号的傅里叶级数一致；而后一种（有系数1/N的），更侧重于在数字信号处理课程中采用。显然，ak等于Xk乘以1/N。
这个公式写的比较花俏，是为了让大家分清k和n，两个都是离散变量（序号），k是频域的变量，n是时域的变量。 下面的问题，就是这个系数如何求解了。图4给出了系数求解公式的推导（以X(k)~的写法为例），我这里不详细讲。


图就是DFS正反变换的公式，反变换就是级数展开式，正变换就是系数求解公式。同样，是两种写法，ak的写法和X(k)~的写法。其实无非就是把系数1/N放在正变换中还是反变换中而已。
公式得到了，就可以顺理成章地引出离散时间周期信号频谱的概念了：
离散时间傅里叶级数的系数（ak或者X(k)-），就是离散时间周期信号的频谱，它反映了这个周期信号的频率成分的组成情况，一般是个复数，模称为幅度谱，相角称为相位谱。图6中是以X(k)~这种形式给出的。

与连续时间周期信号的频谱一样，离散时间周期信号的频谱也具有“离散性”和“谐波性”两个特点，但不同之处是，它还具有“周期性”的特点。是以N为周期的。

与连续时间周期信号的傅里叶级数的题目类似，离散时间周期信号傅里叶级数的题目的求解方法，也可以分为两类：
第一种，当信号直接写成几个正余弦函数之和的形式时，直接与FS展开式的标准形式对比，得出FS系数；

第二种，否则，则需要利用系数求解公式进行运算。例如周期矩形脉冲信号的FS。

2、离散时间傅里叶变换DTFT

（Discrete-Time Fourier Transform（DTFT）
总结为四个内容：定义、物理含义、变换对、性质
DTFT的定义：
这部分内容的学习，有两种讲解思路。第一种是，先学习完z变换，然后按照“单位圆上的z变换就是离散时间傅里叶变换”这种思路导出DTFT。第二种是，与连续时间信号的频域分析思路一致，先利用正交分解的思想，给出DFS，然后令周期N趋于无穷大，导出DTFT。
图9给出了DTFT正反变换的公式。需要解释一下的是，X(e^{jΩ)这种写法，干嘛不写成X(jΩ)呢？当然可以，但是写成X(e}jΩ)，更为大家所广泛接受，就是因为DTFT就是单位圆上的z变换！
另外，特别提醒大家，DTFT中的第二个T万万不可省略！

物理意义：
物理含义就不必说了， x(n)可以表示成复指数信号的线性组合；X(e^jΩ)表示了x(n)中各个频率分量的相对大小及位置，称为x(n)的频谱。
常见信号的DTFT：
给出四个典型例题

与连续时间的傅里叶变换做对比：

连续时间的矩形脉冲 对应频域：sinc函数的频谱
离散时间的矩形脉冲 对应频域：周期的sinc函数
连续时间的sinc函数 对应频域：矩形函数的频谱
离散时间的sinc函数 对应频域：周期矩形函数的频谱

DTFT的性质：

和连续时间傅里叶变换的性质相比，要求更简单。提醒大家注意频域卷积特性，时域相乘，频域卷积，但因为DTFT是周期的，所以这个卷积是“周期卷积”（卷积的积分区间是0~2π，而不是负无穷到正无穷）。

离散时间信号与系统的频域分析（二）

一、离散时间信号的频域分析

分为三部分内容：离散时间傅里叶级数、离散时间傅里叶变换、几种傅里叶变换的总结。前面一篇文章已经总结了前两个内容。这一篇文章继续第三个问题


总之一句话，一个域的离散性，对应另外一个域的周期性。
DFS是满足时域、频域都是离散性这一特点，适合于计算机处理。将DFS在时域、频域都各取一个周期，就是数字信号处理中的“离散傅里叶变换DFT”，在实际的信号处理中应用广泛。注意，DFT与DTFT只有一个T的差别，但二者有天壤之别。

二、离散时间系统的频域分析

“信号与系统”课程中，对这部分内容要求不高。因为真正的离散时间系统（也就是数字滤波器）的学习在“数字信号处理”课程中。

1、离散时间系统的频率响应

H(e^jΩ)称为离散时间系统的频率响应，它是单位样值响应h(n)的DTFT，它等于输出的DTFT除以输入的DTFT。

注意，它是以2π为周期的周期函数。

2、离散时间系统响应的频域求解

这部分内容要求比较简单，零状态响应的DTFT=输入信号的DTFT乘以系统的频率响应。所以可以用频域的方法求解离散时间系统的输出。

3、离散时间系统的滤波特性

下图给出了几种理想滤波器的幅频特性图。注意，H(e^jΩ)是以2π为周期的，所以，图看上去都比较复杂，好像是有多个通带，实际上，只需要看[-π,π]这一个周期的区间就可以了。而且实系统的傅里叶变换又满足“共轭对称”的特点，也就是幅度谱为偶函数，所以[-π,0]和[0,π]一定是一样的，所以，对于离散时间系统的频谱，只要看[0,π]这个区间就可以了。在数字信号处理等课程和实际应用中，一般都只画出[0,π]这个区间的曲线。

2017.11.29

系统线性、时不变性的判定——“信号与系统”重点难点解析之一

在“信号与系统”的“概述”部分，系统的线性、时不变性的判断是一个大家在“系统分类”这部分要掌握的一个重点内容。
要点：

1. 线性和时不变性之间没有必然的约束关系，也就是说，一个线性系统可能是时不变的，也可能是时变的；同样，一个时不变系统，可能是线性的，也可能是非线性的。
2. 线性、时不变性讲的都是系统的特性，系统的特性体现在输出y和输入x的关系上，而不是y与t的关系上。
3. 定义是判定的不二法则。
4. 在做了一些题目的基础上，可以总结出一些规律性的东西来。

一、时不变性的判定

定义：如果系统的输入信号在时间上有一个平移，系统的响应也产生同样的一个时间上的平移。即：输出与输入的关系不随输入作用于系统的时间起点而变化。
如果 x(t) →y(t)，那么： x(t-t0) →y1(t) = y(t-t0)
需要注意，不是对某个特定的t0满足，而是所有t0都满足。




总结：时不变特性的判定，根据题目的类型，可以有两种方法：
第一种，从时不变性的定义式出发，按照以下步骤：
1.首先，根据x(t)产生的输出y(t)的表达式，将y(t)中的t换做t-t0，得到y(t-t0)的表达式；
2.然后，求出x(t-t0)产生的输出的表达式y1(t)（注意，这一步与上一步的变量替换绝对不同，很多同学在这一步上犯错）；
3.最后，判断y1(t)与y(t-t0)是否相等。
第二种，从描述系统的方程来判，参数不随时间变化，则该系统为时不变方程。
（其实，这一种情况，也可以从定义式出发来判断，详细过程见上面的题目（6）、(7)，只不过找出规律来之后就不需要从定义式出发判断了）。
另外，需要注意，分析系统的时不变性时，只需要看零状态响应。

二、系统线性/非线性的判定

数学上关于“线性”的定义包含两个含义：齐次性（又称均匀性）和可加性（又称叠加性）。但需要注意的是，数学上线性的定义，不能直接适用于初始状态不为零的系统是否为线性系统的判定。因此，适用于“信号与系统”的判断系统是否为线性的定义，包含以下三重含义：

总结：判断系统线性，根据题目类型，也有两种方法：
**第一种，根据线性系统响应的三个判断准则：**分解性（当然如果系统本身是零状态的，可以略过这一步）、零状态线性（零状态响应yzs与输入x之间是否满足齐次性及可加性）、零输入线性（零状态响应yzi与初始状态之间是否满足齐次性及可加性）。
第二种，如果是以微分/差分方程描述的系统，若方程不是线性微分/差分方程，则为非线性系统。
{这时也可以按照如上的三个步骤来判断，当然，如果方程中不出现初始状态，可以直接判断y和x之间是否满足齐次性、可加性即可。见上面的题目(2)、(3)。}

如何从“0-状态”推导出“0+状态”呢？采用所谓的“冲激函数匹配法”也称为“冲激平衡法”，原理就是微分方程两端的δ(t)及其各阶导数应该对应项相等。
吴大正《信号与线性系统 第4版》中详细地说明了这种方法，并给出了微分方程的求解示例，偏重于数学推导。郑君里《信号与系统 第三版》中也有这种方法的应用（2.4节），但他是用电路系统为例来讲解的，更侧重于物理含义，而且值得注意的一个现象是，郑书第二版中，明确地给出了“冲激函数匹配法”的原理及示例，而第三版中做了改动，仅给出了电路系统的例子，而删除了微分方程的例子，并且在2.4节的最后给出了δ函数平衡原理的参考书目，然后说

可见，从y(0-)推导y(0+)是个坑，很多人会掉进这个坑里。而利用后面要学习的拉氏变换的方法，可以直接用0-状态求解，完美地绕过这个坑。连郑教授也这样认为。
有同学说“老师，你说时域解微分方程不重要，考试会不会考呢？”我只能说，如果我出题，我不会考。但是…（你懂的），所以，老老实实讲例题：

数字信号处理系列

（预备篇）——信号与系统已学知识点复习

地球人都知道，要学习数字信号处理，必须先学信号与系统。没有信号与系统中概念的铺垫，不可能真正理解数字信号处理。关于“信号与系统”和“数字信号处理”这两门课程的关系，本号上个月推出过一文，在此不再啰嗦，可参考文末的链接。

为了帮助同学们尽快捡起“信号与系统”中学习过的、同时学习“数字信号处理”又要用到的重要知识点，首先我们把这些内容做一个梳理，以便为后续“数字信号处理”的学习扫清障碍。

在开始复习之前，首先需要给大家说明关于角频率变量的大小写，

（一）傅里叶级数与傅里叶变换

特别提一下，卷积，很重要。可以说，卷积，绝不仅仅是个数学运算，它道出了系统时域分析的实质，怎么强调它都不为过。如果你能用matlab或者c语言或者你熟悉的任何一门语言，编个程序，实现两个序列的卷积运算，对理解它会有帮助。

（三）拉氏变换与z变换

复习重点：
（1）拉氏变换与傅里叶变换的关系

前提：拉氏变换的收敛域包含虚轴，此时虚轴上的拉氏变换就是傅里叶变换，即：