利用梯度下降法求解函数最小值

在我的上一篇博客给大家从原理上讲述了一下梯度下降法，在这一篇博文里，我就用python代码底层实现利用梯度下降法求解函数的最值问题。以二次函数为例，方便大家理解！
首先我们需要自己创建一些数据：

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
plot_x=np.linspace(-1,6,141)   #在-1到6之间等距的生成141个数
plot_y=(plot_x-2.5)**2+3	   # 同时根据plot_x来生成plot_y

由上一段代码可以知道，我们生成了一些二次符合函数y=(x-2.5)²+3的一些点，我们可以用python的matplotlib来绘制一下这个函数图像。

plt.plot(plot_x,plot_y)
plt.show()

在二次函数中，梯度就是导数的意思，所以我们就需要定义一个求导数的函数和一个求函数值的函数。

###定义一个求二次函数导数的函数dJ
def dJ(x):
    return 2*(x-2.5)

###定义一个求函数值的函数J
def J(x):
    try:
        return (x-2.5)**2+3
    except:
        return float('inf')

定义好了这两个函数后，我们就开始写梯度下降法的代码。

x=0.0							#随机选取一个起始点
eta=0.1						    #学习率
epsilon=1e-8				    #用来判断是否到达二次函数的最小值点的条件
history_x=[x]                   #用来记录使用梯度下降法走过的点的X坐标
while True:
    gradient=dJ(x)				#梯度（导数）
    last_x=x
    x=x-eta*gradient
    history_x.append(x)
    if (abs(J(last_x)-J(x)) 

在上一段编写梯度下降法的代码中，x是随机选取的一个点的x坐标，在这里我选取的是x=0.0。eta是学习率，用来控制步长的大小，经验上来讲设置其值为0.1比较好。在上一篇博文说过，梯度的方向对应着函数增大的方向，而我们是要寻找二次函数的最小值，所以我们就要一直往函数减小的方向走。梯度下降法其实也就是将x的值一步步往函数值减小的方向走，往函数的最低点逼近。函数减小的方向也就是梯度的反方向，及导数乘以 -1 。 那么 x=x-eta*gradient这句代码就好理解了，意思是x的值减小eta*gradient这么多个单位，大家注意哦！这个gradient是带有正负号的哦，当gradient小于0时，x的值就增大了，因为此时导数小于0，函数就往x的负方向增大，即往x的左边增大，那我们自然要往x右边走啦。我们一般称eta*gradient为步长，eta的作用就是来控制步长的，当eta比较小，x减小的幅度也就越小。那我们什么时候判断是否到达最低点了，那就是if语句中代码的作用了。当while循环中上一个x对应的函数值和此时x对应的函数值的差的绝对值小于一个很小的接近于0的值，那就说明函数值已经很难再减小了，我们就认为此时的x就是最低点对应的横坐标。history_x是一个列表，保存了到达最低点过程中的所走过的x的值。那我们在通过绘制代码绘制一下x
的轨迹。

print(history_x)	        #打印到达最低点时x的值
plt.plot(plot_x,plot_y)     
plt.plot(np.array(history_x),J(np.array(history_x)),color='r',marker='*')   #绘制x的轨迹
plt.show()

由图可以知道，从x=0.0开始，当向最低点逼近的过程中，x的轨迹越来越密集。这是因为向最低点靠近的过程中，x的导数值越来越小，导致x减小的幅度越来越小，所以轨迹会越来越密集，最后停在最低点。根据图中的数据我们也可以知道x具体取了哪些值。
在这里只是利用梯度下降法解决了二维空间的最值问题。转化到多维空间也是类似，梯度也就是对多个自变量x的的偏导数所组成的向量，向量所指的方向也就是函数增大的方向，思想都是一样的。只不过是从数值运算转换成向量运算了。简单吧,hihi！

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